El teorema de Green suele enunciarse como sigue:
Dejemos que $U \subseteq \mathbb{R}^2$ sea un conjunto abierto acotado. Supongamos que su frontera $\partial U$ es el rango de un cerrado, simple, a trozos $C^1$ , curva orientada positivamente $\phi: [0,1] \to \mathbb{R}^2$ con $\phi(t) = (x(t),y(t))$ . Sea $f,g: \overline{U} \to \mathbb{R}$ sea continua con derivadas parciales continuas y acotadas en $U$ . Entonces $$ \int_U \left(\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) - \frac{\partial g}{\partial y}(x,y)\right) dx dy = \int_{[0,1]} f(\phi(t))y'(t) dt + \int_{[0,1]} g(\phi(t))x'(t) dt. $$
¿Existe una demostración completa y rigurosa de este teorema en alguna parte? En la mayoría de los textos (Rudin, Munkres, Spivak) se demuestra primero el teorema de Stokes generalizado, y se muestra el teorema de Green como corolario. Sin embargo, nunca se aborda el criterio "a trozos", ya que la versión de Stokes demostrada en los textos anteriores no funciona para las variedades con esquinas. Por lo tanto, la versión del teorema de Green demostrada es siempre con $C^1$ supuesto.
Debido a que el teorema de Green es sólo en el plano, me pregunto si hay una manera fácil de obtener la generalización "a trozos" de sólo el $C^1$ supuesto. Spivak menciona
El teorema de Green es cierto para un cuadrado ... se puede demostrar aproximando el cuadrado ... por variedades con límite.
¿Es esto fácil de hacer en el contexto de sólo $\mathbb{R}^2$ ?
