Volumen de PGL(2,F) \N - PGL(2, A)

Question

Dejemos que $F$ sea un campo global. ¿Cuál es la medida de $PGL_2(F) \backslash PGL_2(\mathbb{A})$ ?

Esto depende, por supuesto, de las normalizaciones de las medidas de Haar en $PGL_2(F)$ y $PGL_2(\mathbb{A})$ . Probablemente su más probable disponible en la literatura para $PGL_2(F)$ admite la medida discreta y $PGL_2(\mathbb{A})$ la medida de Tamagawa, pero no pude encontrar

Recuerdo que había una pregunta sobre la medida de $SL_n(\mathbb{Z}) \backslash SL_n(\mathbb{R})$ aquí en el pasado, pero no pude encontrarlo.

Debe relacionarse con valores especiales de la función zeta de Dedekind.

Answer 1

Si se toma la medida de Tamagawa, la medida es 2. Es igual al índice de la cobertura universal, por lo que para un grupo simplemente conectado $G$ el volumen de $G({\mathbb A})/G(F)$ es uno. Este es el Teorema de Kottwitz, antes conocido como la conjetura del número de Tamagawa. Una prueba se encuentra en http://www.jstor.org/discover/10.2307/2007007?uid=3737864&uid=2129&uid=2&uid=70&uid=4&sid=21101828946301