En "Topología General" de Willard, ejercicio 9E (p67 de la edición de Dover), escribe:
Una descomposición $\mathscr{D}$ de un espacio $X$ se llamará finito si sólo hay un número finito de elementos de $\mathscr{D}$ tienen más de un punto. (Típicamente, $\mathscr{D}$ contendrá sólo un elemento con más de un punto). Demostrar que una descomposición finita con elementos cerrados es semicontinua superior. Demostrar que la restricción de que los elementos de $\mathscr{D}$ es necesario cerrar.
Aunque entiendo la primera parte de la afirmación ( una descomposición finita con elementos cerrados es semicontinua superior ), y puede demostrarlo fácilmente, en mi prueba sólo utilizo la cerrazón de los elementos de $\mathscr{D}$ que tienen más de un punto.
Pero ¿qué pasa con los solteros en $\mathscr{D}$ ? La declaración de Willard parece incluirlos en cerrado es necesario pero ¿hay algún contraejemplo que demuestre que cualquier singleton no cerrado en $\mathscr{D}$ hace que el teorema falle?
Editar : A continuación añado la definición de semicontinuo superior, ya que es un tema un tanto exótico.
Una descomposición superior-semicontinua $\mathscr{D}$ es, por definición, una descomposición de $X$ (es decir, una partición) tal que, para cualquier elemento $F \in \mathscr{D}$ (dicho elemento es, por definición de una descomposición, un subconjunto de $X$ y puede ser un singleton si contiene un solo punto), y para cualquier abierto $U$ de $X$ tal que $F \subset U$ existe un abierto saturado $V$ de $X$ tal que $F \subset V \subset U$ (saturado significa que es una unión de elementos de la descomposición $\mathscr{D}$ ).
Edit2: aquí está mi prueba.
Tome $F \in \mathscr{D}$ y tomar $U$ un conjunto abierto tal que $F \subset U$ . Si $U$ está saturado, entonces hemos terminado. Supongamos que $U$ no está saturado, lo transformaremos para obtener un conjunto abierto saturado $V$ . $U$ no saturado significa que hay al menos un elemento $M$ de $\mathscr{D}$ que está en parte dentro y en parte fuera $U$ : $M \cap U \neq \varnothing \wedge M \cap (X - U) \neq \varnothing$ . Ya sabemos que $M \neq F$ porque $F$ está completamente dentro $U$ . Así que podemos eliminar con seguridad $M$ de $U$ sin cambiar la propiedad $F \subset U$ . Tenemos que demostrar que el conjunto resultante sigue siendo abierto. Obsérvese que $M$ tiene más de dos puntos (de lo contrario, si fuera un singleton, estaría completamente dentro de $U$ o fuera de ella). Por lo tanto, por hipótesis está cerrado. Así que $X - M$ está abierto. Así que, $V := (X - M) \cap U$ está abierto. Como hay un número finito de posibles $M$ elementos (por hipótesis), después de repetir como sea necesario el proceso la resultante $V$ está abierto.
