Demuestre que la siguiente función no es uniformemente continua en $[a,b)$

Question

Supongamos que $a,b \in \mathbb{R}$ s.t. $a<b$ y que $f(x) = \sqrt{\frac{x-a}{b-x}}$ . Demostrar que $f$ no es uniformemente continua en $[a,b)$ .

Encontrar un $\varepsilon > 0$ y dos secuencias $\{x_{n}\}$ y $\{y_{n}\}$ en $[a,b)$ s.t. $\lim(x_{n} - y_{n}) = 0$ y $|f(x_{n}) - f(y_{n})| \geq \varepsilon$ sería suficiente. Sin embargo, no tengo ni idea de cómo construir tales secuencias. ¿Alguna pista?

Answer 1

Tome $x_n$ tal que $f(x_n)=n$ . Esto da $x_n=\frac {a+bn^{2}}{1+n^{2}}$ . Entonces $x_n \to b$ . Tome $y_n=x_{n+1}$ y $\epsilon =1$ .

Se puede dar una demostración más corta si se sabe que las funciones uniformemente continuas sobre $[a,b)$ están necesariamente acotados. Aquí $f(x) \to \infty$ como $x \to b-$ .

Answer 2

Para tener una visión más general, observe que $f$ es continua, positiva, creciente con $\lim\limits_{x \to b} f(x) = \infty$ .

Por lo tanto, tomar cualquier $\epsilon \gt 0$ , puedes construir las siguientes secuencias por inducción:

• $x_1 = (a+b)/2$
• $x_{n+1}$ tal que $a \lt x_n \lt x_{n+1} \lt b$ y $f(x_{n+1}) \ge f(x_n) + \epsilon$ .
• $y_n = x_{n+1}$ para todos $n \in \mathbb N$ .

$\{x_n\}, \{y_n\}$ son secuencias que buscas.