Una cosa que podrías hacer es repasar algunos argumentos matemáticos que ya conozcas (preferiblemente relativos a conjuntos y funciones), y convencerte de que se pueden formalizar utilizando los axiomas que te dan.
( Más tarde : dado que las funciones y las relaciones son sólo un capítulo posterior, no me queda claro que se suponga que puedas hacer algo interesante por ti mismo todavía. Menudo libro más raro te has agenciado).
Es posible que algunos de ellos no puedan, ya que parece que te falta el Axioma de la Sustitución. Sin embargo, no es necesario para gran parte de las matemáticas elementales.
Google me encontró un PDF del libro al que te refieres. Parece que también te falta el Axioma de Extensionalidad (que los autores omiten explícitamente con una justificación que no tiene ningún sentido para mí). También te falta el Axioma de Fundamento, que no es un gran problema porque tiene pocas aplicaciones reales fuera de la teoría de conjuntos superiores.
En general, la idea de presentar un axiomática La teoría del conjunto a un público que los autores creen que se verá favorecido por un montón de dibujos bonitos de bolsas dentro de bolsas es o bien extraordinariamente audaz o bien una locura. Yo me inclino por lo de "loco de atar", sobre todo porque el capítulo sobre "lógica" que le precede sólo trata propuesta lógica y ni siquiera menciona la cuantificación.
