Demuestre que el producto del jacobiano y el jacobiano inverso es 1

Question

He visto el siguiente hecho en un libro de texto, pero tengo problemas para probarlo. Si el jacobiano ("factor de estiramiento" para el cambio de variables) viene dado por

$\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u}& \frac{\partial y}{\partial u}\\ \frac{\partial x}{\partial v}& \frac{\partial y}{\partial v} \end{vmatrix}$ con $x=x(u,v)$ y $y=y(u,v)$ ,

entonces

$\left | \frac{\partial (x,y)}{\partial (u,v)} \right | \left | \frac{\partial (u,v)}{\partial (x,y)} \right | = 1$ .

Intento demostrar que esto es cierto multiplicando las matrices y luego tomando el determinante del producto, pero no entiendo cómo el producto se hace equivalente a $\begin{bmatrix} 1& 0\\ 0& 1 \end{bmatrix}$ .

Gracias.

Answer 1

Tenemos $$x = x(u,v) \ \ \ \text{and} \ \ \ y = y(u,v)$$ entonces el regla de la cadena para funciones de varias variables afirma que $$\frac{\partial x}{\partial x} = \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x}$$ Pero $$\frac{\partial x}{\partial x} = 1$$ Utilizaré estos hechos más adelante. Por ahora,

Creo que estamos tratando de probar $$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = I$$ donde $$I = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$ También probaremos $$\Bigg \lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\Bigg \rvert = 1$$

Así que empezamos:

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{vmatrix}\begin{vmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{vmatrix}$$

$$= \det \Bigg (\begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{bmatrix} \Bigg ) \det \Bigg (\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} \Bigg )$$

$$= \det \Bigg ( \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} \Bigg )$$

por la identidad $$\det(AB) = \det(A) \det(B)$$

así que $$\det \Bigg ( \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v} \\ \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}\end{bmatrix}\begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} \Bigg )$$

$$= \det \Bigg ( \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial x}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial x}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y} \\ \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial y}{\partial u} \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial y}{\partial v} \frac{\partial v}{\partial y}\end{bmatrix} \Bigg )$$

$$= \det \Bigg ( \begin{bmatrix} \frac{\partial x}{\partial x} & \frac{\partial x}{\partial y} \\ \frac{\partial y}{\partial x} & \frac{\partial x}{\partial x}\end{bmatrix} \Bigg )$$

$$= \det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & \frac{\partial x}{\partial y} \\ \frac{\partial y}{\partial x} & 1\end{bmatrix} \Bigg )$$ por la regla de la cadena para funciones de varias variables, utilizando lo que hemos encontrado anteriormente.

Ahora bien, como $x$ no es una función de $y$ y $y$ no es una función de $x$ tenemos $$\frac{\partial x}{\partial y} = 0 \ \ \ \text{and} \ \ \ \frac{\partial y}{\partial x} = 0$$

así que $$\det \Bigg ( \begin{bmatrix} 1 & \frac{\partial x}{\partial y} \\ \frac{\partial y}{\partial x} & 1\end{bmatrix} \Bigg ) = \det \Bigg (\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \Bigg ) = \det(I)$$

por lo que hemos demostrado que $$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = I$$

Ahora, $$\det(I) = \det \Bigg (\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix} \Bigg ) = 1$$

por lo que también hemos comprobado que $$\Bigg \lvert \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)}\Bigg \rvert = 1$$ según sea necesario

Answer 2

Haz el cálculo directamente.

$$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v \\ y_u & y_v \\ \end{vmatrix}$$ $$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} u_x & u_y \\ v_x & v_y \\ \end{vmatrix}$$ Por lo tanto, queremos probar es, $$\frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = x_uy_vu_xv_y + xvy_uu_yv_x - x_uy_vu_yv_x - x_vy_uu_xv_y = 1$$ Desde $x = x(u, v)$ , $y = y(u, v)$ , Así, $$dx = x_udu + x_vdv$$ $$dy = y_udu + y_vdv$$ Por la regla de la cadena, $$\frac{dx}{dx} = x_uu_x + x_vv_x = 1 \qquad (1)$$ $$\frac{dx}{dy} = x_uu_y + x_vv_y = 0 \qquad (2)$$ $$\frac{dy}{dy} = y_uu_y + y_vv_y = 1 \qquad (3)$$ $$\frac{dy}{dx} = y_uu_x + y_vv_x = 0 \qquad (4)$$ Entonces, mostrando $$(1) \times (3) - (2) \times (4) = \frac{\partial (x,y)}{\partial(u,v)}\frac{\partial(u,v)}{\partial(x,y)} = x_uy_vu_xv_y + xvy_uu_yv_x - x_uy_vu_yv_x - x_vy_uu_xv_y = 1$$ Q.E.D