El grupo de Picard de un producto de anillos.

Question

Leyendo un libro de Teoría de Módulos, he encontrado la afirmación ${\bf Pic}(A\times B)\cong {\bf Pic}(A)\times {\bf Pic}(B),$ donde $A$ y $B$ son anillos conmutativos con la unidad.

Creo que el isomorfismo viene dado por $ {\bf Pic}(A)\oplus {\bf Pic}(B)\ni ([E],[M])\mapsto [E\oplus M]\in {\bf Pic}(A\times B).$ El problema es que no he podido demostrar que este mapa sea un epimorfismo.

Answer 1

Preludio
En primer lugar, observe que los anillos dados deben nunca escribir $A\oplus B$ para anillos: en la categoría de anillos tiene un producto $A\times B$ y un coproducto $A\otimes _\mathbb Z B$ pero tampoco debe escribirse $A\oplus B$ .

La respuesta a su pregunta
Existe una equivalencia de categorías $$Mod_{A\times B}\stackrel {\cong}{\to} Mod_A\times Mod_B $$ en el que un módulo $M$ en $A\times B$ se envía al par de módulos módulo $(M\otimes_{A\times B} A,M\otimes_{A\times B} B)$ .
El morfismo cuasi-inverso $$ Mod_A\times Mod_B \stackrel {\cong}{\to} Mod_{A\times B} $$
envía el par $(N,P)$ que consiste en un $A$ -Módulo $N$ y un $B$ -Módulo $P$ a la $A\times B$ -Módulo $N\times P$ en la que la multiplicación por escalares viene dada, por supuesto, por la fórmula $(a,b)\cdot(n,p)=(an,bp)$
Restringiendo esta equivalencia a módulos invertibles (=módulos proyectivos de rango uno generados indefinidamente), se obtiene el isomorfismo requerido $$Pic (A\times B) \stackrel {\cong}{\to} Pic(A)\times Pic(B) $$

Interpretación teórica del esquema
Todo esto es geométricamente claro:
Desde $Spec(A\times B)=Spec(A) \bigsqcup Spec(B)$ eligiendo un haz de líneas en $Spec(A\times B)$ equivale exactamente a la elección independiente de un haz de líneas en $Spec(A)$ y un haz de líneas en $Spec(B)$ .