Aquí está mi intento cuantitativo de $4.$ y $1.$ :
El efecto Coandă aquí es la tendencia del flujo de aire a adherirse a la superficie de la bola. Esto significa que cerca de la superficie de la bola, las líneas de corriente se curvan con un radio de curvatura aproximadamente igual al radio de la bola $R$ esta curvatura da lugar a un gradiente de presión al igual que en la teoría de la elevación que asumo que es constante sobre la superficie:
$\vec{\nabla} P = - \frac{\rho v^2}{R} \vec{e}_r$
(Anecdóticamente, el "circulación" Los aerodinamistas utilizan para calcular la sustentación por unidad de anchura está relacionada con una determinada integral de esta cantidad sobre un área transversal adecuada).
Esto apunta radialmente hacia el interior de algún punto de equilibrio, en el que las fuerzas netas que actúan sobre la bola se cancelan. En la práctica, la pelota colgará ligeramente por debajo de este punto debido a la gravedad, Edición: ver más abajo .
Cuando la bola se desplaza de esta posición normalmente a la corriente por una cierta distancia $z$ podemos calcular la fuerza restauradora total que actúa sobre la bola integrando $\vec{\nabla} P$ sobre el volumen de la bola bajo dos supuestos:
$1.$ la curvatura y la posición de equilibrio del flujo de aire se ven perturbadas de forma insignificante al mover la bola de esta manera, y por lo tanto son independientes de $z$
$2.$ el volumen neto de la bola desplazada que es relevante para la integración (es decir, que contribuye a una fuerza *desbalanceada*) es aproximadamente igual a $\pi R^2 z$ el área de la sección transversal de la bola por el desplazamiento $z$
con estos supuestos, la fuerza restauradora es
$\vec{F} = - \frac{\rho v^2}{R} \pi R^2 \vec{z} = -\pi \rho v^2 R \vec{z}$
que podemos reconocer inmediatamente como un oscilador armónico
$\vec{F} = -k \vec{z} = -m \omega^2 \vec{z}$
donde $m$ es la masa de la bola, y obtenemos para la frecuencia natural
$\omega = v \sqrt{\frac{\pi\rho R}{m}}$ .
o para una frecuencia de oscilación más fácil de medir $\nu$ en términos de $Q$ estimación $v = Q/A$ ,
$\nu = \frac{Q}{A} \sqrt{\frac{\rho R}{4 \pi m}}$
utilizando el área de la sección transversal de la bola para $A = \pi R^2$ porque $v$ es la velocidad a la que viaja el aire sobre la superficie de la bola, y no la velocidad a la que sale del bolígrafo.
Esta suposición es un poco cuestionable ya que nada del aire pasa realmente por esta zona, pero es la única zona finita relevante para el problema. En el peor de los casos, el área real de la que depende, probablemente el área "media" que atraviesa el flujo en el plano que pasa por el ecuador de la pelota, será $A$ por alguna constante numérica.
Es importante tener en cuenta que esto escala linealmente con $Q$ Así que soplar con el doble de fuerza dará lugar a oscilaciones dos veces más rápidas .
El normas internacionales son $R$ = 20 mm y $m$ = 2,7 g, por lo que yo supondría la siguiente fórmula:
$\nu = 0.767$ m $^{-1} \frac{Q}{A}$
Usando BebopButUnsteady's razonable $Q$ de $6$ L/s, y lo anterior $R$ ,
$\nu = 3.66$ Hz
Lo cual me parece bastante razonable. Pero de nuevo, la dependencia lineal de $Q$ es importante, y para los flujos más débiles será proporcionalmente más lento.
Y como nota final, mi primera suposición de que el gradiente de presión era constante sobre la superficie significa que esta fórmula no distingue entre las oscilaciones paralelas a la corriente y las normales a ella.
En la práctica, se sabe que el hacia adentro el gradiente de presión será baja en los puntos de la bola que están "en línea con" la corriente que los que se encuentran más afuera ya que las líneas de corriente se curvan en la dirección opuesta, por lo que las oscilaciones paralelas a la corriente tendrán un baja frecuencia que los normales/laterales en general.
P.D.: Las fórmulas definitivas aquí expuestas probablemente sólo se mantengan hasta algún "factor de manipulación" experimental, que puede interpretarse como la constante numérica que aparece en esa aproximación de $v \approx Q/A$ : si $v = f Q/A$ entonces $f$ es el factor de confusión. Pero esto es mecánica de fluidos, y los factores de confusión son inevitables.
Editar: estimación para la parte $1.$
Si suponemos que el desplazamiento de la pelota debido a la gravedad es menor que un radio, entonces podemos decir que
$$mg < \pi \rho v^2 R^2 = \rho Q^2 / \pi R^2$$
dadas las definiciones anteriores de $R$ y $Q$ o
$Q > R \sqrt{\frac{\pi mg}{\rho}} \approx 5.77$ mL/s
y
$v > \frac{1}{R} \sqrt{\frac{mg}{\pi \rho}} \approx 4.59$ m/s
que es mucho menos que $6$ L/s, pero puede estar en línea con lo que esos juguetes que a veces vienen en las galletas de Navidad. La velocidad parece algo más razonable desde el punto de vista intuitivo. Si son demasiado bajas para sostenerlas experimentalmente, la razón puede ser que el flujo es demasiado inestable cuando se mantiene con la respiración humana.
En algunos vídeos, la amplitud de las oscilaciones cuando se suspende en un flujo de secador de pelo puede ser aparentemente mayor que un radio, por lo que la suposición sobre $z<R$ puede estar fuera por algún factor de hasta 5; sin embargo, asumir esto haría que los resultados finales para el mínimo teórico $v$ o $Q$ menor por un factor de $\approx 0.44$ por lo que sigue siendo una suposición informada para un límite superior.
Dado que las suposiciones implicadas en la derivación de esta fuerza sólo se aplican estrictamente a los desplazamientos normales a la corriente, éste es el flujo mínimo para suspender la bola horizontalmente; para responder a la pregunta sobre el ángulo máximo de suspensión (puede que no haya ninguno) se necesitaría una descripción más detallada de la distribución de la presión alrededor de la bola, que puede estar disponible en la literatura para el flujo laminar alrededor de una esfera.
