Entender el jacobiano

Question

Se me planteó este problema:

Utiliza las integrales dobles para encontrar el área bajo la curva definida por $r=1+\sin\theta$ .

Podemos ver que $0\leq\theta\leq2\pi,$ y $0\leq r\leq 1+\sin\theta.$ Mi pregunta es, ¿por qué tengo que usar la jacobiana cuando originalmente la curva estaba dada en las coordenadas que quiero integrar? Para ser más claro, si quiero encontrar el área de un círculo de radio $a$ que es descrito por $x^2+y^2=a^2$ , entonces cambio las variables: $x=r\cos\theta$ y $y=r\sin\theta$ . La integral en el círculo:

$$\iint\limits_{\text{Circle in $ xy $ plane}} 1\,dA = \iint\limits_{\text{Rectangle in $ r\theta $ plane}}1·|\boldsymbol J|\,d\hat{A}.$$ Sin embargo en el problema ya me dan la curva en $r\theta$ . ¿Por qué debo añadir el jacobiano? Te agradezco tu opinión.

Answer 1

La idea de la integral doble es encontrar un área pequeña e integrarla para encontrar el área total. Esta pequeña área construida por pequeños cambios $dx$ y $dy$ en las coordenadas $x$ y $y$ por lo que el área pequeña viene dada por $dA=dxdy$ mientras que en el caso de las coordenadas polares $r,\theta$ los pequeños cambios son $dr$ y $d\theta$ y en este caso el área pequeña es $dA=rdrd\theta$
En general tenemos que $$\int\int f(x,y)dxdy=\int\int g(u,v)J(u,v)dudv$$ donde el elemento de área $dA=dxdy$ en cartesianas en las nuevas coordenadas viene dada por $$dA=J(u,v)dudv=\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}dudv$$ El jacobiano dice cómo obtener el elemento de área utilizando la transformación dada. Por ejemplo, en coordenadas polares $dA=rd\theta dr$ como en la siguiente figura (la he copiado de Google)

Answer 2

Si se fija $r =0$ obtendrá su $\theta$ heridas. Sin embargo, $r$ va de 0 a $1 + \sin\theta$ .