Entre la imagen de Schrödinger y la de Heisenberg, esta última es la que está más directamente conectada con la dinámica en la forma en que estamos acostumbrados a verla, con las ecuaciones dinámicas que gobiernan las diversas cantidades; ya sean ecuaciones diferenciales ordinarias de movimiento o ecuaciones diferenciales parciales para campos. En la teoría cuántica, en la Imagen de Heisenberg, esas mismas ecuaciones se mantienen para las versiones cuantizadas de las mismas -hasta la ambigüedad de ordenación de los operadores, mientras que el estado se convierte en una denotación atemporal de toda una historia, en lugar de la de un sistema y su progresión en el tiempo.
Para responder a tu pregunta de la forma más directa posible, primero hay que aclarar que el vector de la función de onda |ψ> no es el estado, sino que es mejor considerarlo como una "raíz cuadrada" del estado. Entre otras cuestiones, tiene ambigüedad de fase y de normalización: diferentes reescalados no nulos y diferentes fases dan el mismo estado. La mejor manera de manejar esto y eliminar la ambigüedad es referirse, en cambio, a W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> como el estado.
Se trata de estados puros. Una mezcla de tales estados, correspondientes a vectores mutuamente ortogonales, con coeficientes de mezcla no negativos que suman 1, da lugar a un estado mixto. Se pueden contemplar estados mixtos más generales que son combinaciones lineales continuas de estados puros, en lugar de sumas discretas. Ejemplo: W C \= p |0><0| + q |1><1| es un bit clásico (un estado mixto), mientras que W Q \= (√p |0> + √q exp(iφ) |1>)(√p <0| + √q exp(iφ) <1|) = W C + √(pq) (exp(iφ) |0><1| + exp(-iφ) |1><0|) es un bit cuántico, que es un estado puro. El estado ½ W C + ½ W Q sería entonces un 50% de pureza; por lo que la pureza puede oscilar entre el 0 y el 100%.
Una cantidad física A, cuando se cuantifica, se convierte en un operador  que tiene una descomposición de la forma  = Σ a a P a en una combinación lineal de operadores de proyección P a y los valores propios a. El efecto de la proyección P a |La función del operador a es reducir |ψ> a la suma de los componentes de su vector propio a; eliminando todos los demás vectores propios - proyecta |ψ> hasta el espacio propio del valor (a) del operador Â. Como los subespacios propios abarcan todo el espacio de |ψ>, se supone que las proyecciones suman 1: Σ a P a \= 1.
Se pueden considerar operadores más generales que tienen espectros que son continuos, o mixtos continuos/discretos. No será de gran ayuda considerarlos aquí, así que me limitaré al caso más sencillo de los espectros discretos.
La regla de Born dice que el resultado de aplicar la medida para la cantidad A es un evento cuántico que reduce el estado |ψ> al estado P a |ψ> con probabilidad |P a |ψ>| 2 /<ψ|ψ> y que el valor medido por el evento es (a).
Cuando se reformula, la regla afirma que el estado W = |ψ><ψ|/<ψ|ψ> se convierte en P a |ψ><ψ P a † /<ψ|P a † P a |ψ> = P a |ψ><ψ P a /<ψ|P a |ψ> ... esta última igualdad se aplica ya que P a † \= P a \= P a 2 para los operadores de proyección. Afirma que esto ocurre con la probabilidad |P a |ψ>| 2 /<ψ|ψ> = <ψ|P a |ψ>/<ψ|ψ>.
Introduciendo el operador "traza", definiéndolo por la propiedad Tr(A|ψ><ψ|B) = <ψ|BA|ψ>, entonces la reducción anterior puede replantearse como W → P a W P a /Tr(W P a ) con probabilidad Tr(W P a ).
Hay dos maneras de tratar esto, dependiendo de lo que se considere que representa un estado mixto. Si un estado mixto W = p W₀ + q W₁ (p,q ≥ 0, p + q = 1) representa "W₀ con probabilidad p, W₁ con probabilidad q" (aplicado recursivamente a W₀ y W₁ si también son estados mixtos) entonces toda la reducción en sí misma puede ser sucintamente envuelta como: W → W A ≡ Σ a Tr(W P a ) × P a W P a /Tr(W P a ) = Σ a P a W P a .
Así, cada evento cuántico produce un cambio de la forma W → W A \= Σ a P a W P a donde A es la cantidad correspondiente que está siendo medida por ese evento.
Nótese que esto se normaliza correctamente ya que Tr(W A ) = Σ a Tr(W P a ) = Tr(W Σ a P a ) = Tr(W) = 1.
La otra forma de considerar un estado mixto es como una cosa en sí misma, de modo que la transición tiene dos pasos: el primero produce el estado mixto en sí mismo, y el segundo produce uno de sus componentes de estado puro con la probabilidad asociada. Personalmente, creo que esa forma de verlo introduce una redundancia innecesaria, así que me quedo con la primera interpretación.
Si se realiza una medición posterior para una segunda cantidad C cuya forma cuantificada Ĉ se descompone en Ĉ = Σ c P' c entonces el resultado será una reducción al estado W A → W AC \= Σ c P' c W A P' c \= Σ a,c P' c P a W P a P' c .
Esto se puede resumir introduciendo el pseudooperador de ordenación temporal T[] y su dual T'[], definidos con las propiedades T[UV] = UV si U ocurre antes de V, VU si V ocurre después de U; y T'[UV] = UV si U ocurre después de V, T'[UV] = VU si U ocurre antes de V. Entonces, se puede escribir la reducción como W → W AC \= Σ a,c T'[P a P' c W T[P a P' c ].
La generalización a más de 2 eventos cuánticos debería ser bastante obvia, a estas alturas.
Cuando esto se generaliza a la teoría de campos, cada operador ya no está asociado a un tiempo específico, sino a un punto específico del espacio-tiempo. La regla de Born se aplica entonces a un conjunto finito de sucesos cuánticos situados sobre una nube de puntos en una región compacta del espacio-tiempo. Si los sucesos corresponden a las mediciones de A \= A 1 , A 2 , ..., A n , entonces la transición es W → W <b>A </b> \= Σ <b>a </b> T'[P <b>a </b> W T[P <b>a </b> ], donde escribo las proyecciones de forma más concisa como P <b>a </b> \= P a 1 ... P a n .
En efecto, la regla de Born introduce entonces una evolución espacio-temporal del estado, aunque el tiempo se elimina de la imagen al hacer dinámicos los operadores (en lugar de los vectores de onda). Si tratamos todo el espacio-tiempo como si estuviera poblado por una nube de puntos (posiblemente infinita), cada punto asociado a un suceso cuántico, entonces cada estado W estará asociado a una partición de esta nube de puntos en un "conjunto de antes" y un "conjunto de después", con la propiedad de que ninguno de los puntos del conjunto de después puede tener una curva futura parecida al tiempo o nula que lleve a cualquiera de los puntos del "conjunto de antes". Los del conjunto anterior son los que se puede considerar que el estado ya ha sufrido una reducción de Born, mientras que los del conjunto posterior son los que no ha sufrido dicha reducción.
Entonces se puede definir una evolución de Born efectiva que produce una transición de dos estados cualesquiera cuyas particiones coinciden en todos los puntos de la nube de puntos, excepto en un número finito, siempre que el conjunto antes de un estado (el estado "posterior") contenga el conjunto antes del otro estado (el estado "anterior"). A continuación, se aplica la regla de Born tomando los sucesos cuánticos (y sus operadores asociados) en los que los dos estados no coinciden en ser anteriores o posteriores. La transición pasa entonces del estado anterior al posterior aplicando la reducción que se acaba de describir.
Así que, en total: esto es lo más parecido a una traducción directa de la Regla de Born de la Imagen de Schrödinger a la Imagen de Heisenberg. El formalismo al que más se parece es el conocido como Historias Consistentes ( https://en.wikipedia.org/wiki/Consistent_histories ), cuyas matemáticas son similares. Por lo tanto, es posible que puedas canibalizar algunas de sus fórmulas y aplicarlas aquí, después de eliminar toda la letra pequeña adicional que adjuntan.
Una interesante referencia relacionada que encontré unos días antes de esto https://arxiv.org/pdf/1308.5290.pdf trata la regla de Born de forma similar, pero también introduce los POVM en el panorama. En las secciones 3 y 6 se tratan los problemas.
