Consideremos el conjunto de subalgebras propias $\mathcal{O}$ de $\mathbf{C}[x]$ que contienen $a$ , $b$ y $c$ . Dado que la codimensión de $\mathbf{C}[a, b, c]$ en $\mathbf{C}[x]$ es finito, podemos elegir $\mathcal{O}$ una subálgebra propia maximizada con respecto a la inclusión.
Reclamación: cualquier subálgebra propia maximalista $\mathcal{O}$ es isomorfo como $\mathbf{C}$ -a cualquiera de los dos tipos de álgebra $\{f \in \mathbf{C}[x] \mid f(0) = f(1)\}$ o a $\mathbf{C}[x^2, x^3]$ .
Probablemente pueda demostrar esta afirmación con métodos elementales. (Pista: demuestre que la codimensión de $\mathcal{O}$ en $\mathbf{C}[x]$ es $1$ y luego analizar lo que esto significa).
Sin embargo, yo demostraría esto mirando las singularidades de $\text{Spec}(\mathcal{O})$ . Si hay dos puntos singulares, entonces podemos normalizar uno de ellos y vemos que $\mathcal{O}$ no es máxima. Si el $\delta$ -de la singularidad es $> 1$ entonces podemos añadir una función local sin suavizar $\text{Spec}(\mathcal{O})$ . Por último, si $C$ es una curva algebraica afín con un único punto singular de $\delta$ -invariante $1$ y normalización igual a la línea afín $\mathbf{A}^1 = \text{Spec}(\mathbf{C}[x])$ , entonces es isomorfo al espectro de uno de los dos anillos de la afirmación.
Esto responde positivamente a la pregunta ya que las dos álgebras de ejemplo pueden ser generadas por dos elementos como $\mathbf{C}$ -algebras.
