Calcular $\mathbb{E}(X + Y)^2$ donde $X \sim P(\lambda_{1})$ y $Y \sim P(\lambda_{2})$ son variables aleatorias independientes

Question

Dejemos que $X \sim P(\lambda_{1})$ y $Y \sim P(\lambda_{2})$ (tienen dispersión de Poisson) sean variables aleatorias independientes tales que $$\sum_{n=0}^{\infty} P(X+Y>n) = 2$$ . Calcula: $\mathbb{E}(X + Y)^2$ .

Ahora sé que $X+Y \sim P(\lambda_{1} + \lambda_{2})$ . Ahora, me preguntaba qué hacer con la suma escrita unas líneas más arriba. Me parece que tal vez sería más fácil obtener alguna información utilizando el complemento para cada $n$ y luego sumar todo eso. Así que cualquier pista sobre el cálculo de la suma ayuda.

Answer 1

Pistas: $X+Y$ tiene una distribución de Poisson con parámetro $\lambda_1+\lambda_2$ . La condición dada es $\sum_n \sum_{k>n} e^{-\lambda} \frac {\lambda^{k}} {k!}=2$ donde $\lambda=\lambda_1+\lambda_2$ . Intercambia el orden de la suma para obtener $\sum_k ke^{-\lambda}\frac {\lambda^{k}} {k!}=2$ . De esto se obtiene $\lambda=2$ . Por lo tanto, $X+Y$ es Poisson con parámetro $2$ y $E(X+Y)^{2}=2^{2}+2=6$ .