Pregunta sobre el papel de los espacios cocientes como productos tensoriales

Question

Según el libro Advanced Linear Algebra de Steven Roman, los primeros objetos que se requieren para construir el producto tensorial se encuentran en un espacio vectorial libre $\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$ qué elementos hay en el formulario: $$\sum^{N}_{i=1} r_{i}(u_{i},v_{i})$$

Y un subespacio $\mathfrak{S}$ de $\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}$ que son abarcados por vectores de esta forma:

$$r(u,w)+s(v,w)-(ru+sv,w)$$

$$r(u,v)+s(u,w)-(u,rv+sw)$$

Luego escribe:

donde $r,s \in$ Campo $\mathbb{F}$ y $u,v$ y $w$ están en los espacios vectoriales adecuados. Nótese que los vectores son precisamente lo que debemos identificar como el vector cero para hacer cumplir la bilinealidad.

Bueno, mi pregunta es, ¿qué se supone que significa identificar en este contexto? ¿Si queremos identificar vectores construimos espacios cotizados?

Además, más adelante en el texto construye el producto tensorial como:

$$\mathfrak{V}\otimes\mathfrak{W} := \frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}}{\mathfrak{S}}$$

Answer 1

La idea es la siguiente: primero, formar el espacio vectorial libre generado por $\mathfrak{U}\times\mathfrak{V}$ ; libre, en el sentido de que no hay relaciones entre los elementos, que son sólo sumas formales finitas de la forma $\sum r_i(u,v)$ flotando en el espacio vectorial. Así, por ejemplo, los elementos $r(u,v)+s(u,w)$ y $(u,rv+sw)$ son diferentes. Pero, nos "gustaría" que fueran iguales, porque parece natural "distribuir" el $u$ de cada término y multiplicar el $r$ y $s$ "en". Aquí es donde entra la identificación. ¿Cómo declaramos que vectores como estos son iguales?

Una forma es tomar el subespacio vectorial $\frak G$ generados por los vectores de la forma que ha mostrado en su pregunta y declarar dos vectores $x,y$ en el producto libre para ser "el mismo" (son $identified$ ) si y sólo si $x-y\in \frak G$ . Es decir, $x\sim y\Leftrightarrow x-y\in \frak G.$ Ahora, recoge todos los vectores identificados por la relación (de equivalencia) $\sim$ en conjuntos, que resultarán ser disjuntos (Esta bonita propiedad es la razón por la que elegimos hacer nuestra identificación de esta manera), por lo que cada conjunto puede ser considerado UN vector en un NUEVO espacio, $\frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}}{\mathfrak{S}}$ que se llama espacio cociente, y como hemos visto, es una colección de clases de equivalencia, que definimos por $\sim$ . También resulta que $\frac{\mathfrak{F}_{(\mathfrak{U}\times\mathfrak{V})}}{\mathfrak{S}}$ es a su vez un espacio vectorial, pero ahora todas las relaciones que queremos que se mantengan, que no se mantenían en el espacio vectorial libre, ahora sí. Esto es el producto tensorial.

Aunque la idea de los espacios cocientes obtenidos a partir de las relaciones de equivalencia es ciertamente importante, esta construcción en particular, en mi opinión, no es muy importante. Una vez que se sabe que existe el producto tensorial de dos espacios vectoriales, se va directamente a la propiedad universal que satisface, y nunca se mira atrás.

Si esta respuesta le parece trivial, o no es lo que busca, por favor hágamelo saber y con gusto la borraré.

Answer 2

En este contexto, por identificar quiere decir imponer una relación a los elementos del espacio libre para que satisfagan la bilinealidad.

Obsérvese que la "condición de bilinealidad" para todos los $u, w \in W$ y $v \in V$ en el producto $W \times V$ está afirmando que:

$(u+w, v) = (u, v)+(w, v)$

Ahora, si movemos toda la RHS a la izquierda, obtenemos

(1) $(u+w, v)-(u, v)-(w, v)=0$

Recordemos que si cotizamos un espacio vectorial $V$ por un subespacio $U$ se declaran todos los elementos del subespacio $U$ para pertenecer al elemento cero del espacio cotizante.

Así, si consideramos el conjunto de todos los elementos de la forma $(u+w, v)-(u, v)-(w, v)$ , a continuación, mirar el subespacio generado por ellos, y luego el cociente del espacio más grande por ese subespacio, hemos determinado que todos estos elementos pertenecen al elemento cero del cociente, e impuso la relación $(u+w, v)-(u, v)-(w, v) =0$ en nuestro espacio vectorial como queríamos en (1).