¿Existe un número entero para cada rango de Euler?

Question

Dejemos que $φ$ sea la función de Euler, entonces $φ(n)+1 = n$ si $n$ es primo.
Que el mapa $\psi: n \mapsto φ(n)+1$

Un número entero $m$ es de rango Euler $0$ si es primo, y de rango Euler $r$ si $\psi^{(r)}(m)$ es primo mientras que $\psi^{(r-1)}(m)$ no lo es. La siguiente lista muestra el número entero más pequeño $n \ge 2$ de rango $r \le 15$ :

$\scriptsize{ \begin{array}{c|c} r &0&1&2&3&4&5&6&7&8&9&10&11&12&13&14&15 \newline \hline n &2&4&15&35&69&255&535&949&1957&2513&2923&4531&17701&22957&54589&79421 \end{array} } $

Pregunta : Dejemos que $r \ge 0$ ¿hay un número entero $n \ge 2$ de rango Euler $r$ ?

Answer 1

No es una respuesta, sino una ampliación de la secuencia con PARI/GP

? for(j=0,40,m=2;s=0;while(s<>j,m=m+1;n=m;s=0;while(isprime(n)==0,s=s+1;n=eulerp
hi(n)+1));print(m," ",s))
2 0
4 1
15 2
35 3
69 4
255 5
535 6
949 7
1957 8
2513 9
2923 10
4531 11
17701 12
22957 13
54589 14
79421 15
80029 16
84493 17
98581 18
102827 19
115243 20
239111 21
291149 22
310813 23
362621 24
398893 25
598341 26
801923 27
838307 28
1063493 29
1079833 30
1123813 31
1311121 32
1329403 33
1582439 34
1677931 35
1751831 36
2382469 37
7754613 38
70817623 39
94342651 40

La secuencia de los números más pequeños con un rango dado debe aumentar estrictamente porque para cada número compuesto $n$ tenemos $\phi(n)+1<n$ . Si el número más pequeño con rango $r$ es $a$ y el menor número con rango $r+1$ es $b$ entonces la suposición $a\ge b$ junto con el rango $(\phi(b)+1)=r$ y $\phi(b)+1<b\le a$ contradice la elección de $a$ .