Estructuras de contacto polinómicas en $RP^3$

Question

Consideremos las estructuras de contacto polinómicas en $\mathbb RP^3$ es decir, estructuras de contacto en $\mathbb R^3$ definido por una forma $w=Pdx+Qdy+Rdz,\ P,Q,R\in \mathbb R[x,y,z]\ $ en una parte afín y luego se extiende a $\mathbb RP^3$ y $ w \wedge dw \ne 0$ en todas partes.

Se pueden encontrar todas estas formas $w$ que $deg P, deg Q, deg R \leq 1$ por cálculo directo:

$w=(qy-rz+a)dx+ (pz-qx+b)dy + (rx-py+c)dz,\ a,b,c,p,q,r\in \mathbb R;$ $ap+br+cq \ne 0$ .

Pero no puedo hacer nada por mayores grados. ¿Conoce algún criterio para los coeficientes de $P,Q,R$ ?

¿Alguien conoce alguna forma polinómica de contacto con $deg P, deg Q, deg R \geq 2$ ?

Añadido: ¿Cuál es la forma (me refiero a los coeficientes de forma en $\mathbb R^3\subset \mathbb RP^3$ ) que define la estructura de contacto polinómica construida por función plurisubarmónica $f=x^4+y^4+z^4+t^4$ ?

Respuesta: $f=x^4+y^4+z^4+t^4$ no es estrictamente plurisubarmónico (ver en el plano $x=y=0$ en el subespacio generado por $dx,dy$ ). Por lo tanto, no produce una estructura de contacto.

Answer 1

Intentaré aclarar a continuación las respuestas de Misha Verbitsky y Max Karev reformulándolas en el lenguaje de mi otra respuesta. Al contrario de lo que he escrito antes en los comentarios del post principal, la distribución considerada por Verbitsky es efectivamente polinómica.

Dejemos que $f(x,y,z,t)$ sea un polinomio homogéneo y $H= f^{-1}(1)$ . Considere la restricción de la $1$ -forma $$ \eta = \frac{\partial f}{\partial y} dx - \frac{\partial f}{\partial x} dy + \frac{\partial f}{\partial t} dz - \frac{\partial f}{\partial z} dt $$ en $H$ . Queremos ampliar la distribución definida en $H$ por ella a todo el $\mathbb R^4$ de tal manera que el resultado es invariante por homotecia.

Desde $f$ no desaparece en $H$ podemos multiplicar $\eta$ por $f$ y seguiremos obteniendo el misma distribución en $H$ . Del mismo modo, ya que $df$ desaparece idénticamente cuando se restringe a $H$ podemos sumar múltiplos de $df$ a $\eta$ sin cambiar la distribución en $H$ . Por lo tanto, la homogeneidad buscada $1$ -forma es $$ \omega = \deg(f) f \eta - (\eta(R)) df , $$ donde $R$ es el campo vectorial de Euler. Obsérvese que $\omega$ define una sección de $\Omega_{\mathbb P^3}(2d)$ . Su restricción a $H$ define la misma distribución que $\eta$ y si $Z$ significa los componentes divisorios de su conjunto cero entonces $\omega$ define una distribución polinómica en $\mathbb P^3_{\mathbb R}$ de grado $2\deg(f) - 2 - \deg(Z)$ .