Distribuciones polinómicas en $\mathbb P^n$ . Lo siguiente funciona para cualquier campo $k$ . El polinomio $1$ -formas definidas en $\mathbb A^{n+1}$ que inducen distribuciones en $\mathbb P^n$ son las invariantes por homotecia y aniquiladas por el campo vectorial de Euler $R = \sum_{i=0}^n x_i \partial_i$ . Explicadamente se pueden escribir como $$ \omega = \sum_{i=0}^n A_i dx_i $$ con $A_0, \ldots, A_n$ siendo polinomios homogéneos de grado $d+1$ que satisface la relación $$ \sum_{i=0}^n x_i A_i =0 . $$
En términos más intrínsecos $\omega$ es la sección de $\Omega^1_{\mathbb P^n}(d+2)$ . El número entero $d$ que aparece arriba tiene una bonita interpretación geométrica cuando $k=\overline k$ es un campo algebraicamente cerrado. Si consideramos una inclusión lineal $i: \mathbb P^1 \to \mathbb P^n$ entonces $i^* \omega$ es una sección de $\Omega^1_{\mathbb P^1}(d+2) \simeq \mathcal O_{\mathbb P^1}(d)$ y por lo tanto $d$ cuenta el número de tangencias entre la distribución definida por $\omega$ con una línea genérica. Decimos que $d$ es el grado de la distribución.
Cuidado: el grado de una distribución en $\mathbb P^n$ tal y como se ha definido anteriormente, no coincide con el grado de los coeficientes de un polinomio $1$ -que define la misma distribución en coordenadas afines. En efecto, el grado (máximo) de los polinomios afines que definen la distribución en $\mathbb A^{n}$ es igual a $d+1$ .
Ejemplos de estructuras de contacto polinómicas en $\mathbb R\mathbb P^3$ de grado par. El contacto estructuras en $\mathbb R^3$ definido por $$ (qy−rz+a)dx+(pz−qx+b)dy+(rx−py+c)dz , $$ con $ ap+br+cq \neq 0 $ todos tienen grado cero ya que se pueden escribir en coordenadas homogéneas $(x:y:z:w) \in \mathbb P^3$ como $$ (qy−rz+aw)dx+(pz−qx+bw)dy+(rx−py+cw)dz + (-ax -by - cz ) dw . $$ También se puede comprobar que las distribuciones inducidas están todas en el $PGL(4,\mathbb R)$ -de la definida por $$ \omega_0 = xdy- ydx + zdw- w dz . $$ De hecho, la acción de $\mathrm{PGL}(4,\mathbb C)$ en $\mathbb P H^0 ( \mathbb P^3, \Omega_{\mathbb P^3}(2))$ tiene sólo dos órbitas. La cerrada corresponde al integrable $1$ -formas ( foliaciones singulares a lo largo de una línea ) mientras que la abierta corresponde a las estructuras de contacto.
Aclaración. El espacio $\mathbb PH^0(\mathbb P^3, \Omega^1(2))$ puede identificarse naturalmente con $\mathbb P ( \bigwedge^2 \mathbb C^4)$ . En efecto, la diferencial exterior es un mapa inyectivo de la homogénea lineal $1$ -formas aniquiladas por el campo vectorial de Euler a constante $2$ -y el producto interior con el campo vectorial de Euler envía la constante $2$ -a las formas lineales homogéneas $1$ -formas aniquiladas por el campo vectorial de Euler. Bajo estos mapas el integrable $1$ -corresponden a formas descomponibles $2$ -formas. En otras palabras, las foliaciones en $\mathbb P H^0(\mathbb P^3, \Omega^1(2))$ corresponden a la incrustación de Plucker del Grasmanniano de líneas en $\mathbb P^3$ en $\mathbb P (\bigwedge^2 \mathbb C^4)$ .
Para producir estructuras de contacto polinómicas de cualquier grado par $2d$ sólo tenemos que multiplicar $\omega_0$ por un polinomio homogéneo par $P_{2d} \in \mathbb R[x,y,z,w]$ sin soluciones reales no triviales y perturbar el resultado en $H^0(\mathbb R \mathbb P^3, \Omega^1(2d+2))$ . Desde $$ (P_{2d} \omega_0) \wedge d (P_{2d} \omega_0) = P_{2d}^2 \omega_0 \wedge d \omega_0 $$ no desaparece en ningún punto de $\mathbb R \mathbb P^3$ , obtenemos que cualquier sección de $ \Omega^1(2d+2) $ en un Zariski suficientemente pequeño vecindad (analítica) de $P_{2d}\omega_0$ también define una estructura de contacto.
No hay estructuras de contacto polinómicas de grado impar en $\mathbb R \mathbb P^3$ . Si tenemos una sección cero en ninguna parte del haz vectorial real $E$ en un colector compacto $X$ entonces la parte superior Clase Stiefel-Whitney de $E$ se desvanece. En La secuencia de Euler $$ 0 \to \Omega^1_{\mathbb R \mathbb P^n} \to \mathcal O_{\mathbb R \mathbb P^n}(-1)^{\oplus n+1} \to \mathcal O_{\mathbb R \mathbb P^n} \to 0 $$ podemos deducir que $$ w_n( \Omega^1_{\mathbb R \mathbb P^n}(d+2) ) = \sum_{i=0}^n (-1)^i (d+1)^{n-i} \mod 2 . $$ Obsérvese que la misma fórmula (sin el $\mod 2$ ) cuenta el número de singularidades de una distribución polinómica sobre un campo algebraicamente cerrado si las singularidades están aisladas.
Especializado en $\mathbb R \mathbb P^3$ obtenemos $$ w_3 ( \Omega^1_{\mathbb R \mathbb P^3}(d+2) ) = \left\lbrace \begin{array} 00 &\text{ if } d \text{ is even} \newline 1 &\text{ if } d \text{ is odd} \end{array}\right. $$ y vemos que no hay distribuciones de contacto de grado impar en $\mathbb R \mathbb P ^3$ .
Observación histórica. El resultado de la inexistencia anterior puede remontarse a Habicht (1948). Trató un problema algo diferente que admite una formulación algebraica equivalente. Su motivación vino de Poincaré-Brower Teorema sobre la inexistencia de campos vectoriales continuos en la esfera $S^2$ . Si se buscan campos vectoriales polinómicos homogéneos en $\mathbb R^{n+1}$ tangente a la esfera unitaria $S^n$ uno termina con $n+1$ polinomios homogéneos $(f_0, \ldots, f_n)$ satisfaciendo $\sum x_i f_i=0$ . Por supuesto, esto es lo mismo que el polinomio homogéneo $1$ -formas aniquiladas por el campo vectorial de Euler.
