Convergencia absoluta de $ \sum a_nx_n $ implica la convergencia absoluta de $ \sum a_n$

Question

Estoy tratando de encontrar una prueba (o un ejemplo más confortable, pero de alguna manera estoy convencido de que la afirmación es verdadera) para el siguiente hecho:

$$ \forall_{(x_n)_{n=1}^{\infty} \lim{x_n} = 0 } \sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_nx_n| <\infty \Rightarrow \sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n| < \infty $$

Traté de llegar a esto con la contradicción. Supongamos que $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_n| = \infty $ y me propuse encontrar una secuencia $ x_n \rightarrow 0 $ tal que $ \sum\limits_{n=1}^{\infty}|a_nx_n| = \infty $ pero no sé cómo elegirlo.

Answer 1

La contradicción es el camino a seguir. Elija $n_1, n_2,...$ tal que $$\sum_{n = n_k}^{n_{k+1}} |a_n| > k$$ Entonces dejemos que $x_n = {1 \over k}$ para $n_k \leq n \leq n_{k+1}$ .