¿Por qué tiene sentido la densidad de líneas de campo eléctrico, si hay una línea de campo que pasa por cada punto?

Question

Cuando tratamos problemas de electrostática (especialmente cuando utilizamos la ley de Gauss) solemos referirnos a la densidad de la electricidad líneas de campo que es inversamente proporcional al radio en el caso de una carga puntual (todas las líneas de campo están dirigidas radialmente).

Mi pregunta puede parecer tonta, a pesar de que este concepto es bastante intuitivo, pero si lo piensas, en realidad hay una cantidad infinita de líneas de campo que podemos dibujar en todas partes (una por cada punto), por lo que hablar de una zona en la que las líneas de campo son más "densas" o "escasas" no tiene mucho sentido para mí.

Teniendo esto en cuenta, ¿por qué podemos seguir utilizando ese concepto? ¿Por qué funciona realmente?

Answer 1

Las líneas de campo obtienen toda su validez de Ley de Gauss para el campo electrostático , $$ \nabla\cdot \mathbf{E}=\frac1{\epsilon_0}\rho,\ \text{or equivalently}\ \oint_{\partial\Omega}\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{S}=\frac1{\epsilon_0}Q_\Omega, $$ donde $Q_\Omega=\int_\Omega\rho\,\text d\mathbf{r}$ es la carga eléctrica en un volumen $\Omega$ cuya superficie es $\partial \Omega$ y el hecho de que se pueda mapear exactamente en el ecuación de continuidad para algún fluido en estado estacionario, que establece que $$ \nabla\cdot \mathbf{j}=\sigma,\ \text{or equivalently}\ \oint_{\partial\Omega}\mathbf{j}\cdot\text d\mathbf{S}=\Sigma_\Omega $$ donde $\mathbf{j}$ es la densidad de corriente (es decir, la cantidad de fluido que atraviesa una unidad de superficie por unidad de tiempo, que es igual a la densidad del fluido por la velocidad local), $\sigma$ es la cantidad de fluido que se crea por unidad de tiempo por unidad de volumen, y $\Sigma_\Omega=\int_\Omega\sigma\,\text d\mathbf{r}$ es el fluido total creado dentro de $\Omega$ por unidad de tiempo.

La forma exactamente idéntica de estas dos ecuaciones significa que podemos interpretar fructíferamente el campo eléctrico como la velocidad de un "fluido" ficticio, que se conserva o no dependiendo de la presencia de cargas. Más concretamente, podemos aportar una forma útil de describir los fluidos -el uso de diagramas de líneas de corriente- para ayudarnos a visualizar los campos eléctricos (y, de hecho, los campos magnetostáticos y gravitatorios, a los que también se aplica todo este post).

Utilicemos, entonces, este mapeo: podemos mapear tu pregunta, "¿cómo y por qué funcionan los diagramas de líneas de campo eléctrico?" en una pregunta correspondiente en el problema dual:

"¿Cómo y por qué funcionan los diagramas de flujo?"

Los diagramas de líneas de corriente representan un número finito de líneas que son tangentes a la corriente $\mathbf{j}=\rho_\text{fluid}\mathbf{v}$ en todos los puntos. Esto significa que una partícula que comienza en una línea de corriente permanecerá en ella mientras el fluido fluye.

(Fuente de la imagen)

La diversión comienza cuando las líneas de corriente se acercan de repente unas a otras. Esto significa que, o bien el fluido se ha comprimido, o bien la unidad de volumen del fluido se ha estirado para que sea más larga a lo largo de las líneas de corriente (como en este diagrama ), y por tanto el fluido va más rápido. En cualquier caso, la densidad de corriente del fluido $|\mathbf{j}|$ aumenta.

Esto puede ser más preciso. En la imagen del perfil aerodinámico de arriba, por ejemplo, las "semillas" de la línea de corriente (los puntos de la izquierda en los que comienzan las líneas de corriente) se han elegido de forma que el fluido que fluye por unidad de tiempo en la imagen desde la izquierda entre dos líneas de corriente adyacentes sea constante. Dado que ningún fluido fluye a través de una línea de corriente, esta tasa de flujo de fluido debe permanecer constante. Por ello, cuando las líneas de corriente están más juntas, la tasa de flujo de fluido por unidad de superficie (es decir, la densidad de corriente) es mayor.

(Además de eso, si hay fuentes o sumideros en los que se crea o destruye el fluido, entonces puede ser necesario introducir o eliminar algunas líneas de corriente, porque en tal situación la tasa de flujo del fluido entre las líneas de corriente originales ya no se conserva, por supuesto).

Debido a este hecho, si se da una representación pictórica de las líneas de corriente de un flujo de fluido, entonces se puede utilizar para reconstruir una aproximación de su campo de densidad de corriente. Su dirección viene dada por las líneas de corriente, y su magnitud viene dictada por el espacio entre las líneas de corriente vecinas. Por supuesto, esto es sólo aproximado: puedes intentar interpolar los valores entre dos líneas de corriente, pero te falta información. Puedes intentar mejorar tu aproximación tomando una rejilla más fina, es decir, disminuyendo el caudal necesario para marcar la siguiente línea de corriente, y eso te dará una mayor precisión (pero, por supuesto, seguirá siendo una aproximación).

A la inversa, para elaborar un diagrama de líneas de corriente hay que acordar primero el caudal que debe tomarse hasta la siguiente línea de corriente. Después, se inician las líneas de corriente "oficiales" en un extremo del flujo, con el espaciado adecuado, y se siguen hasta el final. (Sin embargo, tenga en cuenta que, debido a la conservación de la velocidad de flujo entre las líneas de corriente adyacentes, también puede comenzar sus líneas de corriente en el medio del flujo, siempre y cuando los espacies adecuadamente ). Habrá entonces un número finito de líneas de corriente "oficiales", así como un número infinito de líneas de corriente potenciales que podrías dibujar entre ellas. Por supuesto, son las "oficiales" las que debes utilizar para estimar la densidad de corriente a partir del diagrama.

De este modo, podrá reducir el espacio entre las líneas de corriente "oficiales" y obtendrá una representación más precisa del campo de flujo. Incluso mejor, si tus líneas de corriente están muy juntas, empieza a tener sentido hablar de la densidad local de las líneas de corriente oficiales. Si el fluido se ralentiza a la mitad de una región a otra, y tus líneas de corriente siguen estando muy juntas, entonces te darás cuenta de que hay el doble en una zona dada, finita y pequeña, donde el fluido es rápido en comparación con donde es lento.

En el límite donde se toman infinitas líneas de corriente, igualmente espaciadas a una tasa de flujo correspondientemente desvanecida, entonces se obtiene el tipo de cosa de la que se habla platónicamente. Sin embargo, no tiene sentido, ya que tienes que trabajar con un espaciado finito, pero si tus espaciamientos son muy pequeños entonces puedes (1) tener líneas de corriente esencialmente a través de cada punto, y (2) hablar significativamente sobre la densidad local de las líneas de corriente oficiales, y hacer que cambie consistentemente de una región a otra dependiendo de la densidad de corriente local.

Una herramienta útil para visualizar este límite es Paul Falstad's Applet de campos vectoriales en 3D . Por un lado, permite visualizar los campos eléctricos como campos de velocidad de partículas ficticias, y permite jugar en tres dimensiones con muchas de las configuraciones estándar de electrostática, pero lo más importante es que permite aumentar y disminuir la densidad de líneas de campo:

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También funciona exactamente así en la electrostática. Si tienes un campo electrostático (o un campo gravitatorio), entonces empiezas eligiendo una unidad de flujo electrostático convenientemente pequeña (es decir $\int_S\mathbf{E}\cdot\text d\mathbf{S}$ para separar sus líneas de campo. Una vez que se arregla esto, el diagrama de líneas de campo está esencialmente determinado por completo: comenzando en un punto dado, se puede dibujar su línea de campo, luego moverse una unidad de flujo hacia arriba y hacia abajo desde él y dibujar esas líneas de campo, y repetir eso hasta que se haya cubierto toda la región de interés. Y, por supuesto, si te encuentras con regiones con cargas, entonces tienes que reducir la densidad de tu línea de flujo o introducir algunas nuevas. La ley de Gauss garantiza entonces que tu diagrama será consistente: si eliges tus espaciamientos de forma que la densidad local de líneas de campo refleje la intensidad del campo eléctrico $|\mathbf{E}|$ a través de una superficie determinada, entonces lo hará en todo el diagrama. Que es la razón por la que se puede utilizar dicho concepto, y la razón por la que realmente funciona.

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También me gustaría exponer aquí algunas reflexiones sobre la representación. Mediante el procedimiento que he esbozado anteriormente, es posible reconstruir una aproximación al campo eléctrico en una región a partir de un diagrama con un número finito de líneas de campo. Así, estas dos representaciones del mismo campo eléctrico dipolar son esencialmente equivalentes*:

Sin embargo, el hecho de que contengan la misma información no significa que sean igualmente útiles. Los diagramas de líneas de campo son muy útiles para formarse una idea intuitiva de hacia qué dirección apunta el campo y su fuerza relativa en diferentes regiones, pero es una herramienta terrible para estimar la superposición de dos campos (para lo que es mejor una representación de campo vectorial), y crea varias intuiciones incorrectas. A fin de cuentas, aunque efectivamente podemos "explicar la fuerza de la gravedad a partir de la representación del campo sin utilizar la ecuación matemática", intentar hacerlo resulta no valer en absoluto la pena. Deberías ver las líneas de campo como una mera herramienta de representación y ceñirte a las matemáticas del campo vectorial para saber "qué es realmente el campo".

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Por último, permítanme explicitar aquí una advertencia . El lenguaje de este post es principalmente adecuado para situaciones bidimensionales, y debe ser ligeramente modificado para escenarios 3D. El motivo es que en tres dimensiones no existe una "línea de corriente siguiente", y es necesario comenzar con una dispersión adecuada de puntos, con la densidad local correcta, en su superficie "semilla" al dibujar las líneas de campo. La generalización correcta de las líneas de corriente 2D a 3D sigue siendo líneas de corriente, y no "superficies de corriente" (que sí se pueden dibujar, pero todo se vuelve mucho más desordenado), y esto complica las cosas. Sin embargo, es posible hacerlo correctamente, y la analogía entre un flujo de fluido estático y la electrostática se mantiene.

De hecho, esta aparentemente inofensiva división 2D/3D puede ser la causa de muchos errores sutiles. Tomemos, por ejemplo, esta representación común de las líneas de campo de una carga puntual, de Pregunta duplicada de anupam :

Para una carga puntual, es el flujo del campo eléctrico a través de una esfera centrada en la carga el que es constante, lo que significa que el campo eléctrico debe bajar como $1/r^2$ . Sin embargo, en esta imagen (o en cualquier representación 2D en la que las líneas de campo no se desvanezcan), el espacio entre las líneas disminuye como $1/r$ (ya que el número de líneas de campo que atraviesan un círculo es constante), lo que significa que está sobreestimando seriamente la intensidad de campo. Este diagrama es más adecuado para representar el campo eléctrico de un línea de forma gratuita.

Por lo tanto, para estimar correctamente el campo a partir de un diagrama de este tipo, es necesario trabajar a partir de un diagrama 3D como los producidos por El simulador de Paul Falstad que produjo los gráficos anteriores, ( o este si tienes el dinero), o deberías trabajar en sistemas 2D (es decir, sistemas 3D con una simetría traslacional).

Este tipo de error, sin embargo, es exclusivo de una representación de línea de campo - no lo cometerías al usar una representación de campo vectorial. Puedes utilizarlas para construir alguna intuición, pero ten cuidado con sus muchas averías y complementa siempre con otras formas de visualizar los campos.

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* Ten en cuenta que si intentas trazar esto directamente en Mathematica, StreamPlot producirá un parcela incorrecta con líneas de campo que aparecen de la nada; es sorprendentemente duro para producir gráficos de líneas de corriente adecuados tanto en Mathematica como en en otro lugar . Para el código que produjo estos, utilice Import[" http://goo.gl/NaH6rM "][" http://i.stack.imgur.com/CMlWz.png "]. Además, ten en cuenta que he hecho trampa reduciendo un poco el contraste en el gráfico vectorial para que las flechas sean más visibles.

Answer 2

Tienes toda la razón en que la cantidad de líneas de campo es infinita, sin embargo pensar en "la densidad de líneas de campo" sigue siendo útil en muchas aplicaciones. He aquí un enfoque que espero que aclare las cosas. Pensemos en el campo eléctrico de una sola carga. Elegimos dibujar n líneas del mismo sólo para ilustrar. En la figura, $n=8$ .

Ahora imagina una esfera alrededor de la carga con radio $r_1=1\:\mathrm m$ . ¿Cuál es la densidad numérica por superficie de la línea de campos que hemos elegido en esa superficie? Evidentemente $$\rho_1=\frac{n}{4\pi r_1^2}=\frac{8}{4\pi} \:\mathrm m^{-2}.$$ Para una esfera de radio $r_2=10m$ esta cantidad es $$\rho_2=\frac{n}{4\pi r_2^2}=\frac{8}{400\pi} \:\mathrm m^{-2}.$$

¿Cómo se comparan estas densidades numéricas? ¿Cuál es más grande y cuánto más grande es? Ten en cuenta que $$\frac{\rho_1}{\rho_2}=\frac{\frac{n}{4\pi r_1^2}}{\frac{n}{4\pi r_2^2}}=\frac{r_2^2}{r_1^2}$$ que nos dice que $\rho_1$ es mayor que $\rho_2$ por un factor de $\frac{r_2^2}{r_1^2}$ ( $=100$ en el ejemplo). Ahora viene la parte crucial del argumento:

Observamos que la proporción anterior es independiente de $n$ así que si hubiéramos elegido dibujar 10, 100 o 10 mil millones de líneas no habría habido ninguna diferencia. Incluso si eligiéramos llevar n al infinito el resultado seguiría sin cambiar porque no depende de $n$ ¡! En ese sentido, tiene sentido decir que la densidad de las líneas de campo disminuye, incluso si el número de líneas de campo es infinito.

Answer 3

hay una cantidad infinita de líneas que podemos dibujar en todas partes, por lo que no podemos pensar en un área con líneas más densas.

A pesar de que hay infinitas líneas no hay ningún problema en decir que una densidad es mayor que otra. Matemáticamente podemos escribir:

$$ \mathop {\lim }\limits_{x \to \infty } \left( x \right) $$

Así que no estamos hablando de verdaderos infinitos, sino del límite en el que el número de líneas de campo es arbitrariamente grande. Esto lleva implícita la suposición de que cuanto mayor sea el número de líneas de campo, más preciso será el modelo.

Entonces, ¿por qué podemos seguir utilizando ese concepto?

Hay un número finito de moléculas de agua, pero la mayoría de los modelos del agua suponen que es un "fluido" continuo infinitamente divisible. Se trata de la situación opuesta, en la que tenemos un número infinito de líneas, pero podemos suponer un número finito y obtener la respuesta correcta aproximada. Cuantas más líneas de campo se utilicen, mejor será la aproximación.

En realidad todo se reduce a la Ley de Gauss:

$$ \nabla \cdot E = \frac {\rho}{\epsilon} $$

Lo que significa que si no hay cargas no hay divergencia del campo. Lo que significa que las líneas de campo sólo pueden empezar y terminar en una carga. Esto es lo que hace que esta visualización sea tan útil, (no puedes empezar y terminar las líneas de campo en cualquier lugar) si dibujas una línea de campo debe ser un bucle, o tener sus extremos en las cargas o en el infinito.

Otra propiedad útil es que una línea de campo es un locus. Esto significa que cada punto de la línea satisface una determinada condición. Por ejemplo, un topográfico (montañismo) hay líneas en el mapa.

Estas líneas representan líneas de igual altura, por lo que si caminas por la línea no subirás ni bajarás de altura. Y si viajas perpendicularmente a las líneas estarás subiendo en la dirección más empinada. También puedes saber cuánto has subido contando el número de líneas que has pasado.

Si cada línea representa un asentimiento de diez metros y pasas por cuatro de ellas en el mapa, habrás subido cuarenta metros verticales. Sin embargo, para ser más precisos deberíamos tener diez veces más líneas que representen cada una un metro, o un número infinito de líneas que representen un aumento infinitesimal de la altura. Y si voy a utilizar este último mapa con infinitas líneas, ¿invalida la idea de que algunas pendientes son más empinadas que otras, ya que hay infinitas líneas en todas partes? Por supuesto que no.

Otras líneas de campo representan otra información útil, como las líneas de campo eléctrico representan el movimiento de una carga libre si se colocara en esa línea (si no actuaran otras fuerzas sobre ella).

O líneas de campo gravitatorio que representan líneas de igual potencial gravitatorio.

Pero en realidad las líneas de campo no se utilizan en los modelos sino en las visualizaciones, ya que son buenas para transmitir información cualitativa. La mayoría de los modelos modernos son totalmente matemáticos, ya que son cuantitativos por naturaleza.

hay una cantidad infinita de líneas

¿Realmente los hay? (Honestamente no lo sé para los campos eléctricos, puede alguien dejar un enlace en los comentarios si lo sabe).

Sin embargo, para los campos magnéticos hay un número finito de líneas de campo en un espacio determinado.

Ley de Gauss aplicada a los campos magnéticos:

$$ \nabla \cdot B = 0 $$

Esto establece lo mismo que para los campos eléctricos, excepto que no hay monopolos magnéticos para que las líneas comiencen y terminen. Es decir, las líneas de campo magnético deben ser bucles cerrados.

A dispositivo superconductor de interferencia cuántica se aprovecha de ello atrapando bucles individuales de campo magnético a través de su bucle superconductor. (Los campos magnéticos no pueden penetrar en los superconductores.) Hay un punto débil fabricado en el bucle superconductor. Es posible, a través de la interferencia, detectar cada vez que una sola línea de campo pasa por el punto débil. Y como las líneas de campo magnético están cuantificadas, habrá un número finito de líneas de campo magnético individuales.

Answer 4

Un objeto puntual cargado positivamente en el espacio tiene líneas de campo que emanan hacia afuera de la carga, esto debe ser imaginado en el espacio 3D. La figura así obtenida es una esfera.

Ahora supongamos que tengo una esfera de radio $r$ con masa $M$ tiene un volumen $V$ tiene una expresión $\frac{4}{3}\pi r^3$ .

La densidad de la esfera es $M/V$ que tiene $1/r^3$ dependencia. Si se aumenta el radio de la esfera, la densidad disminuye.

Del mismo modo, podemos tener en cuenta la geometría de la línea de campo de la carga puntual. Es menos densa a medida que aumenta la distancia.

Answer 5

Mi respuesta anterior se alejó del punto planteado en la pregunta, mis disculpas al OP y a los lectores.

Una descripción completa de la geometría de todas las líneas de campo de un campo vectorial es suficiente para especificar completamente el dirección del campo vectorial en todas partes. Para representar también la magnitud, se dibuja una selección de líneas de campo tal que la densidad de líneas de campo (número de líneas de campo por unidad de superficie perpendicular) en cualquier lugar es proporcional a la magnitud del campo vectorial en ese punto.
Fuente : Wikipedia (líneas de campo)

Para explicarlo en palabras sencillas, la densidad de la línea de campo representa la fuerza del campo eléctrico a una distancia $r$ de su fuente/sumidero. Es un estudio comparativo de las líneas de campo a diferentes distancias radiales, pero no nos daría la intensidad de campo exacta.

No nos daría la intensidad de campo exacta porque se calcula por la densidad relativa de las líneas de campo que se dibujan arbitrariamente y cuyo número puede variar de 1 a infinito.

Estudiemos ahora las densidades de las líneas de campo a distancias radiales $r_1$ y $r_2$
Dejemos que $n$ las líneas de campo se dibujan desde la fuente/sumidero de campo

Densidad de líneas de campo a distancia " $r_1$ "se da como $$ \rho_{r_1} = \frac{n}{4\pi r_1^2} $$

Densidad de líneas de campo a distancia $r_2$ se da como $$ \rho_{r_2} = \frac{n}{4\pi r_2^2} $$

Comparación de las intensidades de campo a las dos distancias $$\frac{\rho_{r_1}}{\rho_{r_2}} = \frac{n}{4\pi r_1^2} \frac{4\pi r_2^2}{n}$$ $$\frac{\rho_{r_1}}{\rho_{r_2}} = \frac{r_2^2}{r_1^2} $$

No importa si hace $n$ infinito, tendiendo a infinito o cualquier otro número como toma de límites o de lo contrario se corta y obtenemos una relación cuadrada inversa de la densidad/fuerza de la línea de campo con la distancia radial que es todo lo que queremos mostrar con la imagen de la densidad de la línea de campo. Por eso esta imagen funciona matemáticamente.
Si intentas dibujar líneas infinitas en realidad tendrá que dibujar líneas de $0$ área transversal que no es posible por ningún hombre/programa informático conocido. Sin embargo, si se dibujan líneas muy finas, se empezará a obtener una esfera completa con pelos que sobresalen (picos en realidad) ya que la distancia entre estos tentáculos sigue aumentando la densidad disminuye inversamente con el radio al cuadrado.

Tenga en cuenta que la intensidad de campo real a cualquier distancia será $$ E = k \frac{Q}{r^2} $$ mientras que la densidad de la línea de campo es $$\rho = \frac{n}{4\pi r^2} $$ Desde $k$ es una constante fija para obtener la intensidad de campo real a partir de la densidad de la línea de campo tendremos que fijar $n$ y en ese caso no podremos hacerlo infinito.

Anexo :
Si necesita observar matemáticamente $\frac{\infty}{\infty} $ entonces pruébalo como $\frac{0}{0}$ ambos dan como respuesta undefined y eso es lo esperado como se puede ver al dibujar $0$ ¡no es posible definir la densidad de las líneas de campo mucho lese densidad relativa de las líneas de campo!

Más bien deberías tratar $\infty$ como un gran Gran ¡número, mayor que todos los números poasibles y en ese caso se pueden cancelar los dos ! De la misma manera que representamos un cable muy largo o una hoja muy grande como infinitamente grande, ya que representa un ENORME número para nuestro propósito (cálculos de proximidad).