Cálculo de la longitud de arco de $y=\frac{x^5}{10}+\frac{1}{6x^2}$ , $x \in [1, 2]$

Question

Quiero calcular la longitud de arco de una función: $y=\frac{x^5}{10}+\frac{1}{6x^2}$ , $x \in [1, 2]$ . Calculo la derivada de $y$ y multiplicarlo por sí mismo para preparar la fórmula:

$((\frac{x^5}{10}+\frac{1}{6x^2})')^2 = \frac{9x^{14}-12x^7+4}{36x^6}$

Ahora apliqué eso a la fórmula de abajo:

$s = \int_1^2\sqrt{1+(f(x)')^2}$

Pero produce una integral que no soy capaz de resolver. ¿Hay otras maneras de resolver esto o cómo podría calcular esa integral?

Answer 1

Este ejercicio se asemeja a un conjunto de ejemplos artificiales que se utilizan habitualmente en los libros de texto cuando los alumnos estudian la longitud de los arcos. Por ejemplo:

Dejemos que $y=\dfrac{x^5}{10}+\dfrac{1}{6x^3}$ con $x^3$ en lugar de $x^2$ en la segunda legislatura.

[En estos ejemplos inventados, el exponente en el denominador del segundo término debe ser dos menos que el exponente en el numerador del primer término].

Entonces se obtiene $y^\prime=\dfrac{x^4}{2}-\dfrac{1}{2x^4}$ .

Así que $(y^\prime)^2=\dfrac{x^8}{4}-\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^8}$

y $1+(y^\prime)^2=\dfrac{x^8}{4}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{4x^8}=\left(\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{1}{2x^4}\right)^2$

y se obtiene entonces

$$s=\int_1^2\dfrac{x^4}{2}+\dfrac{1}{2x^4}\,dx$$

Entonces, ¿es posible que haya habido un error tipográfico en el ejercicio original?