Encuentre el límite de de tal secuencia definida por la recurrencia

Question

Así que necesito encontrar el límite de tal secuencia definida por la recurrencia:

• $a_1 = \frac{1}{2}$
• $a_2=1$
• $a_n= \frac{1}{2}a_{n-1} + \sqrt{a_{n-2} } $ por cada $n \in \mathbb{N} \geq 3$

He calculado algunos elementos de esa secuencia y son:

• $a_1 = \frac{1}{2}$
• $a_2=1$
• $a_3 = 1+ \frac{\sqrt{2}}{2}$
• $a_4= \frac{{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{4}$
• $a_5= \frac{{3}}{4} + \frac{\sqrt{2}}{8} + \sqrt{1+\frac{\sqrt{2}}{2}}$

Así que sé que los valores de los siguientes elementos de la secuencia crecen muy lentamente. Pero, ¿qué hago ahora?

Answer 1

Tu siguiente paso debe ser demostrar que esta secuencia creciente tiene un límite superior . Entonces podemos decir que la secuencia tiene un límite debido a Completitud de los números reales . Podemos demostrarlo por inducción.

Si $a_{n-2}\leq4$ y $a_{n-1}\leq4$ entonces $$a_n=\frac{1}2a_{n-1}+\sqrt{a_{n-2}}\leq\frac{1}2\cdot4+\sqrt{4}=2+2=4$$ así que $a_n\leq 4$ . Esto es válido para el caso base ( $n=3$ ) ya que $a_1\leq4$ y $a_2\leq4$ .

Por lo tanto, se demuestra que el límite existe. Sea $\lim_{n\to\infty}a_n=L$ entonces la relación de recurrencia nos da $$L=\frac{1}2L+\sqrt{L}\implies \frac{1}2L=\sqrt{L}\implies L=4$$