pregunta de probabilidad muestran que $P(A)>P(B)$

Question

Esta pregunta aparece varias veces en los exámenes anteriores, así que me gustaría resolverla. Aquí está:

Supongamos que $$0<P(C)<1.$$

¿Cómo podría demostrar que si $P(A|C)> P(B|C)$ y $P(A|C^c)> P(B|C^c) $

Entonces $P(A)>P(B)$

Mi solución:

Hasta ahora, la probabilidad condicional de un evento A dado el evento B, denotado por $P(A|B),$ se define como

$$P(A|B) = P(A\cap B)/P(B)$$ y de manera similar $$P(B|A) = P(A\cap B)/P(A)$$ con $$P(A)>0, P(B)>0$$

Sé que debo utilizar estos pero no sé realmente cómo, puedo ver que si $P(A|C)> P(B|C)$ y $P(A|C^c)> P(B|C^c) $

Entonces $P(A)>P(B)$

pero no sé cómo mostrar esto...

Cualquier ayuda será muy apreciada. Muchas gracias

Answer 1

$P(A|C) > P(B|C) \implies P(A\cap C) = P(A|C)P(C) > P(B|C)P(C) = P(B\cap C)$ .

$P(A|C^c) > P(B|C^c)\implies P(A\cap C^c)= P(A|C^c)P(C^c) > P(B|C^c)P(C^c) = P(B\cap C^c)$

Así que,

$P(A \cap C) > P(B \cap C)$ y $P(A \cap C^c) > P(B \cap C^c)$ $ \implies P(A) = P(A \cap C) + P(A \cap C^c)>P(B \cap C) + P(B \cap C^c) = P(B)$