En primer lugar, hago la sustitución $x-3=t$ que me da: $$\lim_{t\to0}\frac{e^{-1\over t^2}+e(4-3\cos t)^{1/5}-e^{\sqrt {1-t}}}{\sqrt {1-\cos t}}$$ El término $e^{-1\over t^2}$ va a $0$ como $t$ se acerca a $0$ así que lo ignoro y $e^{\sqrt {1-t}}$ es sólo $e$ así que tengo que trabajar en los dos términos restantes.
El término en el denominador se convierte en ${t\over \sqrt2}$ al reemplazar $\cos t$ por $1-{t^2\over2}$ . Aplicando lo mismo al término restante se obtiene $e(1+{3t^2\over2})^{1/5}=e(1+{3t^2\over10})$ . Así que tenemos: $$\lim_{t\to0}{e+{e3t^2\over10}-e\over{t\over\sqrt 2}}$$ Que debería ser igual a $0$ pero aparentemente la respuesta correcta es ${-e\over\sqrt2}$ . Entonces, ¿en qué me estoy equivocando?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Teniendo en cuenta el límite $$\lim_{x\to3^-}\frac{e^{\frac{-1}{(3-x)^2}}+e(4-3\cos(x-3))^{1/5}-e^{\sqrt {4-x}}}{\sqrt {1-\cos(x-3)}}\to{\small{\begin{bmatrix} &t=x-3&\\ &t\to0^-& \end{bmatrix}}}\to\lim_{t\to0^-}\frac{e^{-\frac{1}{t^2}}+e(4-3\cos t)^{1/5}-e^{\sqrt {1-t}}}{\sqrt {1-\cos t}}$$
Y, como has mencionado es suficiente con considerar el límite $$\lim_{t\to0^-}\frac{e(4-3\cos t)^{1/5}-e^{\sqrt {1-t}}}{\sqrt {1-\cos t}}.$$
Utilizando la serie de Taylor, tenemos $$\begin{aligned} &(4-3\cos t)^{1/5}\sim 1+\frac{3 t^2}{10}+\cdots \\ &e^{\sqrt{1-t}}\sim e-\frac{e t}{2}+\cdots\\ &\cos(t)\sim1-\frac{t^2}{2}+\cdots \end{aligned}$$ y sustituyendo (y observando que los términos asintóticos $\to0$ como $t\to0$ ) tenemos $$\lim_{t\to0^-}\frac{e+\frac{3et^2}{10}-e+\frac{e t}{2}}{\frac{\vert t\vert}{\sqrt{2}}}=-\lim_{t\to0^-}\frac{\frac{3et}{10}+\frac{e}{2}}{\frac{1}{\sqrt{2}}}=-\frac{e}{\sqrt{2}}.$$
De esta última expresión se desprende que, al existir una $\vert t\vert$ en el denominador el límite no existirá porque $x\to3^+\implies t\to0^+\implies \vert t\vert=t$ .
