¿Puedes determinar la longitud de una curva por las longitudes de sus proyecciones sobre los planos?

Question

Si $\,\Gamma \subset \mathbb R^n$ es $1$ -rectificable, entonces su medida de Hausdorff es igual a su medida geométrica integral. Es decir, $$\displaystyle\mathcal H^1\left(\Gamma\right) = \int_{G\left({1,\mathbb R}^n\right)} \int_K \operatorname{Card}\left(\left\lbrace {y \in \Pi_K}^{-1}\left(\left\lbrace x\right\rbrace \right)\right\rbrace \right)\, {d\hspace{0.125ex}\mathcal H}^1\left(x\right)\, d \hspace{0.125ex}\Theta_{{1,\mathbb R}^n}\left(K\right),$$ donde $\operatorname{Card}(S)$ significa el número de puntos en ${S,\Pi}_K$ denota la proyección ortogonal sobre ${K,\mathcal H}^1$ denota la medida unidimensional de Hausdorff, $G\left({1,\mathbb R}^n\right)$ denota el grassmaniano de las líneas no orientadas que pasan por el origen en $\mathbb R^n$ y $\Theta_{{1,\mathbb R}^n}$ es la única (hasta una constante adecuada) medida finita de Borel sobre $G\left({1,\mathbb R}^n\right)$ que es invariante bajo la acción del grupo ortogonal.

Me gustaría saber si lo siguiente es cierto: $$\displaystyle\mathcal H^1\left(\Gamma\right) = \int_{G\left({2,\mathbb R}^n\right)} \int_V \operatorname{Card}\left(\left\lbrace {y \in \Pi_V}^{-1}\left(\left\lbrace x\right\rbrace \right)\right\rbrace \right)\, {d\hspace{0.125ex}\mathcal H}^1\left(x\right)\, d \hspace{0.125ex}\Theta_{{2,\mathbb R}^n}\left(K\right),$$

La pregunta más general donde los números $1$ y $2$ se sustituyen por $j$ y $k$ avec $j<k<n$ también es de interés.

Answer 1

La fórmula debería funcionar con el $1\leq j\leq k\leq n$ , modulo una constante dimensional, utilizando la Fórmula del Área para conjuntos rectificables y Fubini.

Reescribo aquí la fórmula del área como se puede encontrar en el teorema 2.91 en Ambrosio, Fusco, Pallara - Funciones de variaciones acotadas y problemas de discontinuidad libre Creo que se puede encontrar un teorema similar en el libro de Federer.

Fórmula del área para conjuntos rectificables Dejemos que $f:\mathbb R^n\to\mathbb R^k$ sea una función de Lipshcitz, y $\Gamma\subset\mathbb R^n$ un contablemente $\mathcal H^j$ -conjunto rectificable. Entonces la función de multiplicidad $\mathcal H^0(\Gamma\cap f^{-1}(\{x\}))$ es $\mathcal H^j$ -medible en $\mathbb R^k$ y $$\int\limits_{\mathbb R^k} \mathrm{Card}\left(\Gamma\cap f^{-1}(\{x\})\right)d\mathcal H^j(x)=\int\limits_\Gamma (J_jd_y^\Gamma f)\, d\mathcal H^j(y) $$ donde $J_jd_y^\Gamma f$ es el $j$ -Jacobiano de la diferencial tangencial $d_y^\Gamma f$ en el punto $y$ .

En el caso de que $f$ es diferenciable y $\Gamma$ es una variedad regular de dimensión $j$ , $d_y^\Gamma f$ es sólo la restricción del diferencial $df$ a $Tan^j(\Gamma,y)$ El $j$ -espacio tangencial en $y$ . Además $J_j d_y^\Gamma f$ es el jacobiano de este mapa como un mapa lineal del espacio tangente $Tan^j(\Gamma,y)$ a su imagen en $\mathbb R^k$ . Está claro que para los conjuntos rectificables hay que demostrar primero que todas estas cosas están bien definidas (por ejemplo, que una función Lipschitz es tangencialmente diferenciable en $\mathcal{H}^j$ -casi todos los puntos de un $\mathcal H^j$ -conjunto rectificable...) pero me remito a AFP para los detalles.

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Aplicando esto a nuestro caso obtenemos $$\int\limits_V \mathrm{Card}\left(\Pi_V^{-1}(\{x\})\right) d\mathcal H^j(x)=\int\limits_\Gamma (J_j d_y^\Gamma \Pi_V)\, d\mathcal H^j(y). $$ Si ahora integramos sobre $G(k,\mathbb R^n)$ y cambiando el orden de integración obtenemos \begin{align} \int\limits_{G(k,\mathbb R^n)}d\Theta_{k,\mathbb R^n}(V)\int\limits_V \mathrm{Card}\left(\Pi_V^{-1}(\{x\})\right) d\mathcal H^j(x) &= \int\limits_{G(k,\mathbb R^n)}d\Theta_{k,\mathbb R^n}(V)\int\limits_\Gamma (J_j d_y^\Gamma \Pi_V)\,d\mathcal H^j(y)\\ &=\int\limits_\Gamma d\mathcal H^j(y)\int\limits_{G(k,\mathbb R^n)}d\Theta_{k,\mathbb R^n}(V)(J_j d_y^\Gamma \Pi_V)\\ & =\mathcal{H}^j(\Gamma) \,I(j,k,n) \end{align} donde $$I(j,k,n)=\int\limits_{G(k,\mathbb R^n)}d\Theta_{k,\mathbb R^n}(V)(J_j d_y^\Gamma \Pi_V) $$ es una constante dimensional independiente de $y$ ya que es la media de los " $j$ -factores de estiramiento" $J_j\Pi_V(y)$ sobre todo $k$ -subespacios dimensionales $V$ , por lo que cualquier plano tangente aproximado $\Gamma$ tiene en $y$ estos factores se integran en la misma constante (espero que esta última parte haya quedado suficientemente clara).