¿Qué obstáculos geométricos para $M$ siendo planos hacen elementos que mapean a 0 en $M \otimes I$ ¿Representar?

Question

Estoy tratando de obtener una intuición geométrica para la noción de un módulo plano sobre un anillo, y me estoy encontrando con algunos problemas con mi intuición. Me siento cómodo con los módulos planos y los productos tensoriales desde el punto de vista conmutativo, así que cuando pregunto qué "es" un objeto, me refiero a cómo puedo trasladar el álgebra conmutativa al razonamiento geométrico.

Considere $M=\mathbb{C}[x,y,z]/(xz-y)$ como $R=\mathbb{C}[x,y]$ módulo.

Como han explicado muy bien muchos usuarios aquí: ¿Por qué no es $\mathbb{C}[x,y,z]/(xz-y)$ un piso $\mathbb{C}[x,y]$ -Módulo La razón por la que $M$ no es plana como una $R$ -es porque si consideramos el ideal $I=(x,y)$ entonces $M \otimes I$ contiene el elemento no nulo $1 \otimes y-z \otimes x$ que es 0 si se considera como un elemento de $M$ (resulta que tiene torsión x).

También sabemos que la razón geométrica del fracaso de la planitud es que una línea entera se mapea en $(0,0)$ cuando mapeamos la variedad correspondiente a $M$ al plano (la variedad correspondiente a $R$ ).

Mi pregunta es qué es exactamente el "objeto" geométrico $1 \otimes y-z \otimes x$ que se asigna a $0$ cuando consideramos la multiplicación pero resulta ser distinto de cero cuando consideramos alguna otra forma bilineal aleatoria, y ¿cómo corresponde este objeto a una fibra dimensional no constante si lo consideramos geométricamente?

Si el objeto es de hecho sólo algo a lo que podemos aplicar formas bilineales, entonces me gustaría saber si las formas bilineales generales sobre $M \times I$ son posiblemente "geométricas" en algún sentido (es decir, productos de enésimas derivadas de funciones, que podrían corresponder a un comportamiento de enésimo orden alrededor de un punto específico).

En una nota relacionada, no estoy seguro de lo que las "funciones" en $M \otimes \kappa(P)$ corresponden en realidad a (aquí $\kappa$ significa campo de la clase de residuos); agradecería mucho si alguien pudiera aclarar esto (concretamente, sobre qué "actúan" exactamente estas funciones, y dónde "viven").

Gracias,

Rofler

Edición: Pensé que la comprensión $M \otimes \kappa(P)$ arrojaría algo de luz sobre $M \otimes P$ pero en realidad lo primero es fácil de entender, ya que ninguno de los elementos de los productos tensoriales es no elemental, y en realidad sólo hemos invertido algunas funciones, y puesto otras a ser $0$ . $M \otimes P$ por otro lado...

Answer 1

No se me da muy bien dibujar, pero al menos voy a intentar describir la imagen.

Fuera del divisor $\{x=0\} \subset \mathbb{A}^2:= Spec \mathbb{C}[x,y]$ la gavilla correspondiente a $M$ parece que las funciones en $\mathbb{A}^2$ . Eso es sólo decir que como módulos tenemos lo siguiente:

$$\mathbb{C}[x,x^{-1},y,z] /(xz-y) \cong\mathbb{C}[x,x^{-1},y]$$

Considere ahora $\pi :Spec M \to \mathbb{A}^2$ dado por la inclusión obvia de las álgebras. Geométricamente $Spec M$ puede considerarse como una familia de hipérbolas (parametrizadas por $y$ ) que degenera en una unión de líneas cuando $y=0$ (una familia de secciones cónicas si se quiere). Como ya hemos establecido fuera del divisor $D:=\{x=0\}$ (que es precisamente el $y$ eje) este mapa es un isomorfismo local. Lo que sucede en el $y$ ¿eje?

Consideremos la preimagen $\pi^{-1}(D)$ . Calculando obtenemos:

$$\mathbb{C}[x,y,z] /(xz-y,x)\cong \mathbb{C}[z]$$

¿Qué ha pasado? $\pi^{-1}(D)$ podría describirse de forma equivalente como la intersección de los $(x,z)$ -(que es el pullback de $y$ -eje a $\mathbb{A}^3$ el espacio ambiental de $SpecM$ ) con $SpecM$ que es sólo el $z$ -eje. Este $\pi^{-1}(D)$ es ahora, por construcción, fibrado sobre $Spec \mathbb{C}[y] = \mathbb{A}^1$

Sin embargo, nota una cosa rara. Ahora $z$ es $y$ -¡Torsión! ¿Qué significa esto?

Por la imagen geomérica sabemos que tiene sentido porque la proyección del $z$ -eje a $\mathbb{A}^ {2}$ sólo contiene el origen y, por tanto, el único punto en el que la fibra debe ser no vacía es $(x,y)=(0,0)$ . Así que $\pi^{-1}(D) \to D = \mathbb{A}^1$ consiste en una línea que se asienta completamente sobre el origen. Y esto ya no es plano por razones obvias (incluso si no se sabe lo que es la planitud precisamente debe estar cerca de "variar continuamente" y no hay manera de que una línea entera sentada sobre un punto en $\mathbb{A}^1$ es "continuamente variable").

En general, creo que es mucho menos gratificante reflexionar sobre el significado geométrico de los productos tensoriales de la forma $M \otimes I$ donde $M$ es un módulo y $I$ es un ideal y ninguno es plano. A veces se pueden masajear para dar cosas como haces de chorros y gavillas sobre engrosamientos nilpotentes, pero en sí mismos son objetos bastante formales.

Sin embargo, voy a decir algo sobre este caso concreto.

Podemos interpretar $ M \otimes I \otimes \mathbb{C}[x,y] = M \otimes I/I^2$ como la fibra de $M$ en el origen tensado con el espacio cotangente allí. Hemos visto que la fibra en el origen es la $z$ -podemos imaginar el espacio vectorial anterior como parte del engrosamiento de primer orden de la $z$ -eje en $\mathbb{A}^3$ .

El elemento $s = 1 \otimes y - z \otimes x$ en la fibra en el origen tiene valor $\bar{s} = dy - z dx$ . Esta 1 forma con valores en $M$ es cero en el espesamiento de primer orden $M/I^2M$ . La interpretación que creo es que $\bar{s}$ quiere ser una función sobre un engrosamiento de primer orden de la fibra en el origen, pero no consigue ser no trivial porque el engrosamiento nilpotente no es lo suficientemente grande (en una familia plana cualquier función que corte la fibra puede ser elevada a una función que corte un engrosamiento nilpotente de la misma - esta es la intuición que hay detrás de plano=variación continua). Así que quizás haya un sentido en el que $\bar{s}$ "apunta en una dirección a la que $Spec M$ no se deforma"