¿Por qué la teoría de cuerdas bosónica requiere 26 dimensiones del espaciotiempo?

Question

No creo que sea posible realmente creer o comprobar experimentalmente (ahora), pero todas las doctrinas físicas modernas sugieren que nuestro mundo NO es de 4 dimensiones, sino superior. El candidato menos sofisticado - la teoría de cuerdas bosónicas dice que nuestro mundo es de 26 dimensiones (no es realista debido a la presencia de taquión, y por eso hay supercuerdas con 10 dimensiones, Teoría M con 11, Teoría F con 12).

No nos preocupemos por las realidades físicas y preguntemos: ¿qué matemáticas están detrás del hecho de que 26 es la única dimensión en la que puede vivir la teoría de cuerdas bosónica? Definitivamente hay algunas matemáticas, por ejemplo, 26 en esa pregunta de MO está seguramente relacionado.

Permítanme recordar los antecedentes de la teoría de cuerdas bosónica. Nuestro mundo real es una variedad riemanniana M que se llama TS (espacio objetivo). Consideramos el espacio de todos los mapas desde el círculo a M, en realidad tenemos que considerar cómo el círculo se mueve dentro de M, por lo que obtenemos mapas desde $S^1\times [0~ T]$ a M ( aquí $S^1\times [0~ T]$ se llama WS - hoja de mundo); identificamos los mapas que se diferencian por la parametrización (así es como entra en juego Virasoro y de ahí la relación con La pregunta de Leonid ).

Eso fue bastante matemático, pero ahora comienza la física mal definida - necesitamos integrar sobre este espacio infinito de mapas/parametrizaciones con medida correspondiente a exp( i/h volumen_{2d}(imagen(WS)). Se sabe que esta medida NO existe matemáticamente, pero de alguna manera esto no impide que físicos hacen lo que llaman regularización o renormalización o algo así eso y aparece 26...

Answer 1

Además del enfoque del lenguaje de operadores de Chris Gerig, permítanme mostrar también cómo aparece este número mágico en el enfoque de la integral de trayectoria.

Dejemos que $\Sigma$ sea una superficie compacta (hoja del mundo) y $M$ una variedad riemanniana (espacio-tiempo). La función de partición de la cuerda tiene el siguiente aspecto $$Z_{string}=\int_{g\in Met(\Sigma)}dg\int_{\sigma\in Map(\Sigma,M)}d\sigma\exp(iS(g,\sigma)).$$ Aquí $Met(\Sigma)$ es el espacio de las métricas de Riemann sobre $\Sigma$ y $S(g,\sigma)$ es el estándar $\sigma$ -acción del modelo $S(g,\sigma)=\int_{\Sigma} dvol_\Sigma \langle d\sigma,d\sigma\rangle$ . En particular, $S$ es cuadrática en $\sigma$ por lo que la segunda integral $Z_{matter}$ no plantea ninguna dificultad y se puede escribir en términos del determinante del operador de Laplace en $\Sigma$ . Nótese que el determinante del operador de Laplace es una sección del haz de líneas determinante $L_{det}\rightarrow Met(\Sigma)$ . La medida $dg$ es una "sección" del haz de formas superiores $L_g\rightarrow Met(\Sigma)$ . Ambos haces de líneas llevan conexiones naturales.

Sin embargo, el espacio $Met(\Sigma)$ es enorme: por ejemplo, tiene una acción libre por el grupo de rescalados $Weyl(\Sigma)$ ( $g\mapsto \phi g$ para $\phi\in Weyl(\Sigma)$ una función positiva). También lleva una acción del grupo de difeomorfismo. El cociente $\mathcal{M}$ de $Met(\Sigma)$ por la acción de ambos grupos es de dimensión finita, es el espacio de moduli de las estructuras conformes (o complejas), por lo que se quiere reescribir $Z_{string}$ como una integral sobre $\mathcal{M}$ .

Todo lo que está a la vista es invariante de difeomorfismo, así que la única pregunta es cómo cambia el integrando bajo $Weyl(\Sigma)$ . Para bajar la integral de $Met(\Sigma)$ a $Met(\Sigma)/Weyl(\Sigma)$ hay que trivializar el bulto $L_{det}\otimes L_g$ a lo largo de las órbitas de $Weyl(\Sigma)$ . Aquí es donde entra la dimensión crítica: la curvatura de la conexión natural en $L_{det}\otimes L_g$ (anomalía local) desaparece precisamente cuando $d=26$ . Después hay que comprobar también que la conexión es realmente plana a lo largo de las órbitas, para poder trivializarla.

Dos referencias para este enfoque son las conferencias de D'Hoker sobre la teoría de cuerdas en "Quantum Fields and Strings" y "Determinants, Torsion, and Strings" de Freed.

Answer 2

Creo que esto es estándar en algunos libros de texto de la Teoría de Cuerdas:
Los operadores cuánticos forman el álgebra de Virasoro, donde los generadores obedecen a $[L_m,L_n]=(m-n)L_{m+n}+\frac{c}{12}m(m^2-1)\delta_{m+n,0}$ . Aquí "c" es el carga central que es la dimensión espacio-temporal sobre la que trabajamos. Necesitamos esta álgebra para interactuar adecuadamente con los estados físicos del sistema (es decir $L_m|\phi\rangle$ información), y sólo cuando $c=26$ garantizamos que no hay estados de norma negativa en el sistema físico completo.

[Anexo] En el método que he descrito, $c=26$ surge correctamente como la dimensión crítica para que no se produzcan absurdos. Lo que creo que David Roberts está pensando (en su comentario más abajo) es otra forma de obtener la misma respuesta: Consideras las coordenadas del cono de luz y escribes la condición de la cáscara de masa (sumando sobre la dimensión de la hoja del mundo $D−2$ ), y se termina con el requisito $\frac{D-2}{24}=1$ . En otras palabras, $c=D=26$ .

Answer 3

Llevo bastante retraso en responder a esta pregunta, aunque la seguí cuando apareció por primera vez, pero se me debió olvidar. De todos modos, ya ha pasado un tiempo y parece que nadie ha mencionado mi razón (algebraica) favorita para esto.

En la cuantificación covariante BRST de la cuerda bosónica, el espacio de estados físicos puede interpretarse como el grupo de cohomología relativo semi-infinito $H^\bullet(\mathfrak{V},\mathfrak{z};\mathfrak{M})$ , donde $\mathfrak{V}$ es el álgebra de Virasoro, $\mathfrak{z}$ es su centro y $\mathfrak{M}$ es un $\mathfrak{V}$ -módulo en la categoría $\mathcal{O}_o$ la subcategoría de la categoría $\mathcal{O}$ que consiste en módulos graduados con subespacios homogéneos de dimensión finita.

El complejo estándar que computa la cohomología semi-infinita es el producto tensorial $\mathfrak{M}\otimes\bigwedge^\bullet_{\frac\infty2}\mathfrak{V}'$ de $\mathfrak{M}$ con las formas semi-infinitas en $\mathfrak{V}$ . Para calcular la cohomología relativa necesitamos considerar formas que sean a la vez horizontal y invariante en relación con el centro. Ahora bien, sucede que $\bigwedge^\bullet_{\frac\infty2}\mathfrak{V}'$ es un $\mathfrak{V}$ -donde el elemento central actúa con el valor propio ( carga central ) $-26$ por lo que para que el subcomplejo relativo sea no trivial, la carga central de $\mathfrak{M}$ debe ser $+26$ .

Ahora bien, ¿por qué la gente dice que la cuerda bosónica necesita $26$ ¿dimensiones? Esto, que en realidad es impreciso, proviene del hecho de que al considerar la teoría de campo conforme de la cuerda que se propaga en $d$ espacio-tiempo de Minkowski, los módulos (Fock) resultantes $\mathfrak{M}$ tienen el cambio central $d$ .

¿Por qué digo que esto es impreciso? Porque la relación entre la carga central y la dimensión depende mucho del espacio en el que se propaga la cuerda. No es inconcebible que puedan existir espacios-tiempo (no planos) $M$ para los que los módulos de Virasoro resultantes de la teoría de campo conforme de la cuerda que se propaga en $M$ (si esto fuera realmente posible de calcular) tienen una carga central que no es igual a la dimensión de $M$ .

Dicho de otra manera, ciertamente existen $\mathfrak{V}$ -módulos con carga central $26$ sin una interpretación geométrica clara/conocida en la actualidad, y no hay razón para descartar su eventual interpretación en términos de geometrías con dimensión $\neq 26$ .

Answer 4

El valor de 26 proviene, en última instancia, de la necesidad de librar a la teoría de los estados de norma negativa, como se ha señalado anteriormente. Esto implica regularizar la suma $ \sum_{n=0}^\infty n, $ que, por supuesto, es divergente. Se obtiene una parte finita igual a $-\frac{1}{12},$ que lleva a la 24, y de ahí a la 26 para el número de dimensiones (25 espaciales, 1 temporal). (La continuación analítica de la función zeta da $\zeta(-1) = -\frac{1}{12} $ ).

En lugar de que yo escriba los detalles aquí, sugiero esta bonita referencia introductoria, donde el número de dimensiones requerido para la consistencia de la cuerda bosónica se deduce en el capítulo 2:

http://www.damtp.cam.ac.uk/user/tong/string/string.pdf

Answer 5

No soy una experta en esto, así que no te preocupes, pero no creo que debas exigir $\dim(M) = 26$ Sólo hay que exigir que la hoja del mundo sea invariante conformacional, es decir, que la anomalía de Weyl desaparezca. Se puede hacer esto añadiendo 26 bosones (que representan las coordenadas de $M$ ) -lo que se denomina teoría de cuerdas crítica- o se puede activar el valor de expectativa del dilatón -lo que se denomina teoría de cuerdas no crítica-. Hay muchas investigaciones interesantes sobre estas teorías de cuerdas no críticas. $c=1$ modelos matriciales y teorías de cuerdas de tipo 0.