¿cómo estimar la tasa de convergencia detallada en el teorema de helly (probabilidad)?

Question

Todos conocemos una de las versiones de Teorema de Helly en el curso de probabilidad (c.f. el libro 'Approximation Theorems of Mathematical Statistics', página 352. Véase lo siguiente):

Dejemos que $f(x)$ sea la función continua, y sean las secuencias de las funciones uniformemente acotadas no decrecientes: $F_1(x), F_2(x), ... , F_n(x),...$ convergen débilmente a la función $F(x)$ en algún intervalo finito $a\leq x \leq b$ . Entonces

$\lim\limits_{n\rightarrow +\infty}\int_{a}^b f(x) d F_n (x) = \int_{a}^b f(x) d F (x)$ .

Mi pregunta es: ¿Cómo podemos estimar la tasa de convergencia detallada de la tasa de convergencia anterior, es decir, con respecto a la muestra $n$ ? ¿Tenemos las herramientas correspondientes? ¡Gracias a todos!

Answer 1

Sin conocer el contexto, probablemente sea difícil decir algo general sobre la tasa de convergencia. Pero
a)
$|\int_{a}^{b}f(x)dF_{n}(x)-\int_{a}^{b}f(x)dF(x)|\\ \leq \sup|f(x)|*||\mu_{n}-\mu||_{TV}$ ,
donde $||\mu_{n}-\mu||_{TV}$ es la distancia de variación total entre las medidas correspondientes a las funciones de distribución. En una situación situaciones, la distancia de variación total puede estar acotada.

b) si $f$ es suave y con soporte compacto y dejemos que $supp(f)\subset (a,b)$ entonces una integración por partes muestra que

$|\int_{a}^{b}f(x)dF_{n}(x)-\int_{a}^{b}f(x)dF(x)|\\ =|\int_{a}^{b}f^{'}(x)F_{n}(x)dx-\int_{a}^{b}f'(x)F(x)dx|\\ \leq \sup|f^{'}(x)|*\sup_{x\in[a,b]}|F_{n}(x)-F(x)|*(b-a)\\ \leq \sup|f^{'}(x)|*\sup|F_{n}(x)-F(x)|*(b-a)$

$\sup|F_{n}(x)-F(x)|$ se denomina distancia de Kolmogrov-Smirnov y, en determinadas situaciones, puede estar acotada.

c) Bajo los mismos supuestos de b) y suponiendo que las medidas correspondientes a la función de distribución son medidas de probabilidad. Entonces

$|\int_{a}^{b}f(x)dF_{n}(x)-\int_{a}^{b}f(x)dF(x)|\\ = |E[f(X_{n})] - E[f(X)]|\\ \leq \sup |f^{'}(x)| E[|X_{n} - X|]$

donde en el último paso, construí un "acoplamiento" entre $X_{n}$ y $X$ (una distribución conjunta que tiene los marginales correctos). Ciertamente, puedo tomar $\inf$ sobre todos los acoplamientos para hacer el atado apretado y que dará

$|\int_{a}^{b}f(x)dF_{n}(x)-\int_{a}^{b}f(x)dF(x)|\\ \leq \sup |f^{'}(x)| \inf_{\text{all coupling of $ X_{n} $ and X}}E[|X_{n} - X|]\\ = \sup |f^{'}(x)|*Wasserstein-distance(X_{n},X)$

La distancia wassertein también se puede acotar en muchos casos

d) Consideremos ahora la configuración en el teorema central del límite donde $F_n$ es la función de distribución de las sumas reescaladas y $F$ la función de distribución de la normal estándar. Entonces el teorema de Berry-Esseen da precisamente un límite de la distancia de Kolmogrov-Sirnov como $O(1/{\sqrt{n}})$ (consulta la wiki). De hecho, la distancia de variación total también puede ser acotada, consulta los artículos de Sergey Bobkov.