Describe el lugar en el plano complejo de los ceros de un polinomio cuártico al variar el término constante

Question

(Diagrama y configuración de UCSMP Precálculo y Matemáticas Discretas , 3ª ed.)

Arriba hay un gráfico parcial de los ceros de $p_c(x)=4x^4+8x^3-3x^2-9x+c$ . El texto se detiene en mostrar el diagrama y no discute la forma del lugar de los ceros ni describe las curvas resultantes. ¿Son las curvas del lugar geométrico un tipo de curva específico (con nombre)? ¿Existe una forma sencilla de describir las curvas (ecuaciones)?

La cuestión no tiene por qué limitarse al polinomio concreto dado: los ceros de casi cualquier polinomio cuártico generan un tipo de lugar similar al variar el término constante.

Answer 1

Supongo que está restringiendo $c$ para ser real, así que tu pregunta es:

Qué números complejos $z$ pueden ser raíces de ecuaciones $$4z^4+8x^3 -3z^2 -9z+c=0$$ como $c$ varía a través de los reales?

Esta es la misma pregunta que

Para qué números complejos es $$g(z)=4z^4+8x^3 -3z^2 -9z$$ ¿Real?

Ciertamente, si $z$ es real entonces $g(z)$ es real, por lo que estamos realmente interesados en soluciones no reales para $z$ . Ahora un número complejo $w$ es real si $w-\overline{w} =0$ où $\overline{w}$ es el complejo conjugado de $w$ . Así que queremos resolver la ecuación $$g(z)-\overline{g(z)}=0,$$ equivalentemente $$4(z^4-\overline{z}^4)+6(z^3-\overline{z}^3) -3(z^2-\overline{z}^2)-9(z-\overline{z})=0.\qquad\qquad(*)$$

Si ponemos $z=x+yi$ con $y$ real podemos simplificar esto usando $$z-\overline{z}=2yi,$$ $$z^2-\overline{z}^2=4xyi,$$ $$z^3-\overline{z}^3=2(3x^2-y^2)yi$$ y $$z^4-\overline{z}^4=2(4x^3-4xy^2)yi.$$ Así, $(*)$ se convierte, al cancelar $2i$ , $$y[16(x^3-xy^2)+16(3x^2-y^2)-6x-9]=0.$$

El factor de $y$ en la ecuación anterior tiene en cuenta el $x$ -eje (por lo que todos los reales valores de $z$ ) y por lo tanto las otras soluciones se encuentran en la curva definida por la ecuación $$16(x^3-xy^2)+16(3x^2-y^2)-6x-9=0.$$ No voy a analizar más esta ecuación, pero parece un cúbico bastante típico, así que probablemente define una curva elíptica.

Answer 2

Tenemos que encontrar todos $z:\exists c\in \mathbb{R}:p_c(z)=0$ .

Algunas manipulaciones dan

$\begin{array} &&p_c(z)=0\\\ \Leftrightarrow&p_0(z)+c=0\\\ \Leftrightarrow&Re(p_0)+i Im(p_0)+c=0\\\ \Leftrightarrow&Re(p_0)+c=0\text{ and } Im(p_0)=0\\\ \end{array}$

Ahora $Im(p_0(z))=0$ es un conjunto fijo de puntos en el plano complejo.

$Re(p_0)+c$ define una superficie sobre en $\mathbb{C}$ que varía con $c$ . Las superficies que obtenemos varían $c$ son sólo la traslación de la superficie $z=Re(p_0)$ , a lo largo de $z$ eje.

Nuestro conjunto de puntos requeridos son los que se encuentran en la intersección de estos conjuntos

$\\{z\in \mathbb{C}:Im(p_0(z))=0\\}\cap\\{z\in \mathbb{C}:\exists c:Re(p_0(z))+c=0\\}$

$=\\{z\in \mathbb{C}:Im(p_0(z))=0\\}\cap\mathbb{C}$

$=\\{z\in \mathbb{C}:Im(p_0(z))=0\\}$

Ejemplo 1: Tomemos como ejemplo $p_c(z)=z^2+c$ .

Parcela de $Im(p_0(z))=2 x y = 0$ es sólo los dos ejes, como se indica a continuación.

Este es el lugar requerido.

Una parcela de $Re(p_0(x))$ también se indica a continuación. Sin embargo, esto no ayuda a encontrar el lugar, y esto se adjunta sólo para ver por qué el segundo término en la intersección anterior es entero $\mathbb{C}$ . Evidentemente, los puntos que se intersecan con el plano complejo cuando movemos la superficie hacia arriba y hacia abajo es todo el plano complejo. Esto será válido para cualquier polinomio ya que los polinomios son funciones holomorfas.

Ejemplo 2: Tomemos su ejemplo $p_c(z)=z^4+8z^3−3z^2−9z+c$ .

Tenemos

$\begin{array}\ Im(p_0(z))&=&Im(p_0(x+iy))\\\ &=&16 x^3 y+24 x^2 y-16 x y^3-6 x y-8 y^3-9 y\\\ &=&-y \left(-16 x^3-24 x^2+16 x y^2+6 x+8 y^2+9\right)\end{array}$

Parcela de $p_0(z)=0$ (que da su locus) se muestra a continuación.

Answer 3

Bueno, estás viendo $p_c(x) = 4x^4 + 8x^3 - 3x^2 - 9x + c=0$ , que es sólo $c=-4x^4-8x^3+3x^2+9x$ , por lo que si se hace un gráfico en el $xc$ -plano, se obtendrá un cuártico que se abre hacia abajo con las secciones transversales horizontales los ceros para dado $c$ . De hecho, como podemos resolver para $c$ así para que sea una gráfica en el plano afín, es una curva cuártica racional, por lo que podrías empezar a buscar allí.

Answer 4

Una forma de ver tu problema es que estás tratando de encontrar la gráfica de una ecuación p(x,c)=0. En otras palabras, estás tratando de resolver una ecuación de función implícita.

En general, las soluciones a las ecuaciones polinómicas implícitas en dos variables se llaman Variedades Algebraicas, y pueden ser muy complicadas (http://en.wikipedia.org/wiki/Algebraic\_variety). Así que no se puede decir necesariamente qué tipo de curva se obtendrá. Sin embargo, tal vez para este polinomio específico es una curva simple.

Lo que se puede decir es que si se sabe que p(x, c) = 0 para algún (x,c) dado, entonces para todos los puntos d suficientemente cercanos a c se puede encontrar una raíz x(d) tal que p(x(d), d) = 0. Esto se llama el teorema de la función implícita, y otro resultado del teorema es que x(d) es incluso diferenciable con respecto a d.