Una métrica en $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$

Question

No puedo encontrar una métrica $\delta$ en $\mathbb{R}^2\setminus\{0\}$ tal que sea equivalente a la métrica euclidiana, sea igual a la métrica euclidiana en el círculo unitario y para todo $r>0$ el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}; 0<x^2+y^2<r\}$ sea $\delta$ -sin límites y el conjunto $\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\setminus\{0\}; x^2+y^2>r\}$ sea $\delta$ - limitado.

Intenté definir $\delta$ por casos, pero es realmente difícil obtener una métrica de esta forma.

Answer 1

Considere la inversión $I : \Bbb{R}^2\setminus \{0\} \to \Bbb{R}^2 \setminus \{0\},\ I(x)=\frac{x}{\|x\|^2}$ .

La definición $d(x,y)=d_E(I(x),I(y))$ , donde $d_E$ es la distancia euclidiana.

Answer 2

¿Recuerdas cómo utilicé la función $f$ para definir la métrica $\delta$ en esta respuesta ? Puede utilizar la misma idea aquí con la función $f(x)=\dfrac{x}{\|x\|^2}$ : dejar $\delta(x,y)=d(f(x),f(y))$ , donde $d$ es la métrica euclidiana.

Answer 3

La opción más sencilla es $$d(x,y)= \left|\frac 1x - \frac 1y\right|.$$

Esta métrica es idéntico a la métrica encontrada usando la inversión, porque la diferencia entre la involución $\frac 1 z$ y la inversión $\frac 1 {\overline z}$ es sólo una conjugación compleja que es una reflexión que preserva la distancia sobre el $x$ -eje.