Una nota a pie de página sobre la medida exterior

Question

Este es el teorema sobre en el libro de análisis real de Royden. Y en el libro hay una nota a pie de página que estoy confundiendo:

¿Puede alguien ayudarme a entenderlo con ejemplos~~~

Answer 1

La medida exterior de $E$ se define como el mínimo del siguiente conjunto $$\left \{\sum_{k=1}^{\infty} \mu(E_k) \colon \{E_k\}_{k=1}^\infty \text{with $ E_k\in S $ such that $ E \\Nsubconjunto \Nbigcup_{k=1}^\Ninfty E_k $ } \right \}$$

Ahora nada garantiza que para algún conjunto $E$ incluso hay uno $\{E_k\}_{k=1}^\infty$ con $E_k\in S$ tal que $E \subset \bigcup_{k=1}^\infty E_k$ . En este caso el conjunto anterior es vacío, y es la medida exterior de tal $E$ es entonces el ínfimo del conjunto vacío. Por lo tanto, es necesario saber cuál sería el mínimo del conjunto vacío, y esto es lo que se indica en la nota a pie de página.

Answer 2

Sólo hay un ejemplo: $\inf\emptyset=+\infty$ . Puedo explicarle la razón. La definición de $\inf$ es decir, el mayor límite inferior, lo que equivale a $\sup\{x\in\mathbb R:x<y\:\forall y\in\emptyset\}$ . Piénsalo: esto significa $\inf\emptyset=\sup\mathbb R$ y por lo tanto $+\infty$ .

Answer 3

Dejemos que $S := \{ \{x\} \mid x \in \mathbb{R}\}$ . Entonces $\mathbb{R}$ no puede ser cubierto por un número contable de elementos de $S$ .