Una desigualdad de producto interno con $p$ -enfermedades

Question

Dejemos que $a,b$ sean vectores en $\mathbb{R}^n$ y $p \geq 1$ . Quiero demostrarlo:

$$ p \langle |a|^{p-2} a, b-a \rangle \: \leq |b|^p - |a|^p .$$

Reescribiendo esto se obtiene

$$ \langle |a|^{p-2} a, b \rangle \: \leq \frac{1}{p}|b|^p + (1-\frac{1}{p})|a|^p .$$

Así que tal vez algún tipo de argumento de convexidad podría servir.

Answer 1

Por Cauchy-Schwarz:

$$ \langle |a|^{p-2} a, b \rangle \: \leq |a|^{p-1} |b|. $$

Ahora para $\frac{1}{q}=1-\frac{1}{p}= \frac{p-1}{p}$ tenemos $\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=1$ y por lo tanto por la desigualdad de Young (nota $p\geq1$ )

$$ |a|^{p-1} |b| \leq \frac{1}{p} |b|^p + \frac{1}{q} |a|^{(p-1)q}=\frac{1}{p} |b|^p + (1-\frac{1}{p}) |a|^p, $$

desde $q=\frac{p}{p-1}$ .