Si $f’(x) = \sin x + (\sin4x)(\cos x)$ entonces $f’(2x^2 + \pi/2) $ ¿es?

Question

Si $$f'(x) = \sin x + \sin4x \cdot \cos x,$$ entonces $$f'(2x^2 + \pi/2)$$ ¿es?

Respuesta dada: $$4x\cos(2x^2) – 4x\sin(8x^2) \sin(2x^2)$$

Lo he intentado y me sale la respuesta como $\cos(2x^2) - \sin(8x^2)\sin(2x^2)$

Answer 1

Si $$f(x) = \sin x+\sin 4x\cdot \cos x\;,$$ Entonces pon $$\displaystyle x = 2x^2+\frac{\pi}{2}$$

Así que $$\displaystyle f\left(2x^2+\frac{\pi}{2}\right) = \sin \left(2x^2+\frac{\pi}{2}\right)+\sin \left(8x^2+4\pi\right)\cdot \cos \left(2x^2+\frac{\pi}{2}\right)$$

Así que $$\displaystyle f\left(2x^2+\frac{\pi}{2}\right) = \cos 2x^2-\sin 4x^2\cdot \sin 2x^2$$

Arriba hemos utilizado $$\displaystyle \bullet\; \sin \left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = \cos \phi$$ y $$\displaystyle \bullet\; \cos \left(\frac{\pi}{2}+\phi\right) = -\sin \phi$$

y $$\displaystyle \bullet\; \sin (2\pi+\phi) = \sin \phi$$

Answer 2

Esta parece ser la aproximación más cercana a la pregunta que realmente tiene sentido:

Supongamos que $$f'(x) = \sin x + \sin 4x \cdot \cos x.$$

Dejemos que $g(x) = f(2x^2 + \frac\pi2)$ . Entonces $$g'(x) = 4x \big(\!\cos(2x^2) - \sin(8x^2)\sin(2x^2) \big).$$

Eso haría que hubiera dos errores tipográficos en la pregunta: la falta de paréntesis alrededor de la expresión multiplicado por $4x$ y el uso erróneo de $f'(2x^2+\frac\pi2)$ para referirse a $g'(x)$ (Creo que has calculado correctamente lo primero, pero la respuesta sugiere lo segundo).

Answer 3

$$f\'(x) = \sin x + \sin 4x \cos x$$

Tenemos que encontrar $f\'(2x^2+\pi/2)$ .

Ahora

$$f\'(2x^2+/2) = f\'(2x^2+/2).Derivative of (2x^2+/2)$$

$$ = {\sin (2x^2+/2) + \sin 4(2x^2+/2).Cos(2x^2+/2)}.4x$$

$$ = 4x{\cos(2x^2) - \sin(8x^2).\sin(2x^2)}$$

Answer 4

$$f\left(2x^2+\dfrac\pi2\right)=\sin\left(2x^2+\dfrac\pi2\right)+\sin4\left(2x^2+\dfrac\pi2\right)\cos\left(2x^2+\dfrac\pi2\right)$$

Ahora $\sin\left(\dfrac\pi2+y\right)=+\cos y$ y $\cos\left(\dfrac\pi2+y\right)=-\sin y$

Ahora utilice la regla de la cadena como $$\dfrac{d\{\cos(2x^2)\}}{dx}=\dfrac{d\{\cos(2x^2)\}}{d(2x^2)}\cdot\dfrac{d(2x^2)}{dx}=-\sin(2x^2)\cdot4x$$

Answer 5

@N Nair ...hoy he estado resolviendo arihant y me he encontrado con el mismo problema (la razón por la que estoy aquí :p lol) y creo que he conseguido una respuesta relevante a la pregunta pero también tengo algunas dudas. f'(2x^2+/2) no significa df(2x^2+/2)/dx....(i) Más bien significa ... df(2x^2+/2)/d(2x^2+/2) .....(ii) así, el caso (i) que da la respuesta 4x{cos(2x^2)-sin(8x^2)sin(2x^2)} es INCORRECTO y por lo tanto creo que la respuesta proporcionada es INCORRECTA. y el caso (ii) dará la respuesta cos(2x^2)-sin(8x^2)sin(2x^2) que según yo es CORRECTO y por lo tanto SU RESPUESTA es CORRECTA. ¿Algún argumento al respecto? Por favor, hágamelo saber :)