Evaluar $\int \frac{dx}{1+\sin x+\cos x}$

Question

Evalúa $$\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x}\:dx$$

Intenté varias formas pero ninguna funcionó

Intenté usar el método de Integración por partes pero me dará una integral más complicada

También intenté sustitución de u pero ninguna de mis elecciones de u funcionaron

¿Alguna sugerencia?

Answer 1

$$\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x}\:dx\stackrel{t=\tan(x/2)}=\int\frac{dt}{1+t}=\ln |1+t|+c=\ln|1+\tan(x/2)|+c$$

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Como $dt=\frac12\sec^2(x/2)dx\implies 2dt=(1+\tan^2(x/2))dx\implies 2dt=(1+t^2)dx$ donde: $$\frac{1}{1+\sin x+\cos x}=\frac{1}{1+\frac{2t}{1+t^2}+\frac{1-t^2}{1+t^2}}=\frac{1+t^2}{1+t^2+2t+1-t^2}=\frac{1+t^2}{2t+2}=\frac{\frac{2dt}{dx}}{2(1+t)}$$

Answer 2

Escribe $\sin(x)$ en el denominador como $2\sin(x/2)\cos(x/2)$ y $\cos(x)$ como $2(\cos(x/2))^2-1$. Ahora los 1s se cancelan. Saca $(\cos(x/2))^2$ del denominador y envíalo al numerador como $(\sec(x/2))^2$. Ahora llegaste a $\frac{\sec(x/2)^2}{2 \tan(x/2) + 2}$. Continúa.

Answer 3

Es fácil recordar las identidades del ángulo semiplano $$\begin{align*} \sin \frac{x}{2} &= \sqrt{\frac{1-\cos x}{2}}, \\ \cos \frac{x}{2} &= \sqrt{\frac{1+\cos x}{2}}, \end{align*}$$ a partir de las cuales se puede escribir la identidad de la tangente del ángulo semiplano $$\tan^2 \frac{x}{2} = \frac{1-\cos x}{1+\cos x} = \frac{\sin^2 x}{(1+\cos x)^2},$$ y se sigue que $$\color{red}{\boxed{\displaystyle \tan \frac{x}{2} = \frac{\sin x}{1+\cos x}, \quad \sec^2 \frac{x}{2} = \frac{2}{1+\cos x}}}.$$ (De hecho, hay numerosos métodos para demostrar las identidades del cuadro.) Así que $$\frac{1}{1 + \sin x + \cos x} = \frac{\frac{1}{1+\cos x}}{1 + \frac{\sin x}{1+\cos x}} = \frac{\frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2}}{1 + \tan \frac{x}{2}}$$ y la substitución $$u = \tan \frac{x}{2}, \quad du = \frac{1}{2} \sec^2 \frac{x}{2} \, dx$$ lleva inmediatamente a $$\int \frac{dx}{1+\sin x + \cos x} = \int \frac{du}{1+u} = \log |1+u| + C = \log \left| 1 + \tan \frac{x}{2} \right| + C.$$

Answer 4

Si desea evitar la sustitución de Weierstrass ($t = \tan (\frac {x} {2})$), puede multiplicar la parte superior e inferior por $1 + \sin (x) - \cos (x)$. $$\int \frac {dx} {1+ \sin (x) + \cos (x)} = \int \frac {(1 + \sin (x) - \cos (x)) dx} {1 + 2 \sin (x) + \sin ^ 2 (x) - \cos ^ 2 (x)}$$ $$= \int \frac {1 + \sin (x) dx} {2 \sin (x) + 2 \sin ^ 2 (x)} - \int \frac {\cos (x) dx} {2 \sin (x) + 2 \sin ^ 2 (x)}$$ $$= \int {\frac {\csc (x) dx} {2}} - \frac {1} {2} \int \Big (\frac {\cos (x)} {\sin (x)} - \frac {\cos (x)} {(1 + \sin (x))} \Big) dx = \cdots$$ Se pueden resolver los dos últimos integrales utilizando los métodos que ya conoce.

Answer 5

Aviso $\sin{x}+\cos{x}=\sqrt{2}\sin(x+\frac{\pi}{4})$

Estableciendo $x+\frac{\pi}{4}=v$ queda por evaluar

$\int \frac{1}{1+\sqrt{2}\sin{v}}dv$

Ahora usamos Weierstrauss y queda por calcular

$\int \frac{2}{t^2+2\sqrt{2}t+1}dt=\int \frac{2}{(t+\sqrt{2})^2-1}dt$

Y el resto es una fracción parcial básica y hemos terminado