Confusión sobre el solapamiento de eventos

Question

Es la pregunta 47 de la página 85 del libro de Ross (Introducción a los modelos de probabilidad)

La misma pregunta en $E[X]=1.8$ , donde $X$ es el número total de aciertos de 3 ensayos. ¿Cuál es el mayor/menor $P\{X=3\}$ ¿puede ser?

Considere tres ensayos, cada uno de los cuales es un éxito o no. Sea X el número de aciertos. Supongamos que E[x] = 1,8.

(a) ¿Cuál es el mayor valor posible de P{X = 3}

(b) ¿Cuál es el menor valor posible de P{X = 3}

Desde

$E[X]= E[X_1] +E[X_2] +E[X_3]$ = P{ $X_1$ = 1} + P{ $X_2$ =1} + P{ $X_3$ =1} = 1.8

entonces estoy atrapado aquí

La Solución dice:

P{X=3} = P{ $X_1$ = 1} \= 0,6 cuando $X_1 = X_2 = X_3$

¿Pero por qué?

Con la restricción E[x] = 1,8, el valor máximo para que se superpongan es 0,6 cuando $X_1 = X_2 = X_3$ . (No estoy seguro de que " solapamiento " es una palabra apropiada aquí).

1. ¿Qué significa $X_1 = X_2 = X_3$ ? la misma distribución?
2. ¿Cuál es la relación entre el evento P{X=3} y P{X1 = 1}? ¿Es posible formularla en términos de la teoría de conjuntos?

Actualización 1

3. Dado que si 3 eventos son independientes o no, no es seguro, ¿qué tipo de ideas detrás de P{X=3} = P{ $X_1$ = 1}? Mi suposición a ciegas es que se superponen?

Gracias de antemano

**Actualización 2 **(según lo explicado por Graham):

Cuando tres eventos son totalmente dependientes, es decir $X1=X2=X3$ ,

entonces $E[X]$ = $\sum_{i=1}^{3} ip(i)$ = 3 * P{X=3}

finalmente P{X=3} = $E[X]/3$ = 0.6

Answer 1

¿Qué significa $X_1=X_2=X_3$ ? la misma distribución?

$X_i$ es el indicador de éxito en el juicio $\#i$ .   Es decir $X_i=1$ si el juicio $\#i$ es un éxito y $X_i=0$ si es un fracaso.   Se trata de variables aleatorias de Bernoulli.

Por lo tanto, $X_1=X_2=X_3$ significa que las pruebas son totalmente dependiente son todos éxitos o todos fracasos.   Es decir, si una prueba es un éxito, todas lo son, y si no, todas son un fracaso.

¿Cuál es la relación entre el evento $\{X=3\}$ y $\{X_1 = 1\}$ ? ¿Es posible formularlo en términos de la teoría de conjuntos?

El recuento de éxitos en tres ensayos es la suma de los tres indicadores.   $X=X_1+X_2+X_3$

$\{X=3\}$ es el evento $\{X_1=1\}\cap \{X_2=1\}\cap\{X_3=1\}$ ... que, es el caso de que las tres pruebas sean un éxito.   Esto también se puede escribir: $\{X_1=X_2=X_3=1\}$ .

Y si los juicios son totalmente dependientes, entonces $\{X=3\}=\{X_1=1\}$ ... las tres pruebas serán un éxito si la primera lo es.