En una prueba clásica de que el conjunto de puntos de la sucesión junto con su límite es compacto, utilizamos la afirmación de que cualquier vecindad de un punto límite contiene un número infinito de puntos de la sucesión, por lo que sólo necesitamos un número finito de conjuntos abiertos para cubrir el resto de la sucesión. Es decir, afirmamos, que contable menos contable es finito. Por otro lado, si al conjunto contable de los números naturales le restamos todos los números Impares, entonces el conjunto de todos los números pares es contable. Por lo tanto, contable menos contable es contable. ¿Cómo tratar la cardinalidad en este caso? ¿Qué me falta? Marina
Respuesta
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Cualquier vecindad de un punto límite contiene todos los puntos de la sucesión, excepto algunos finitos. Esa es una condición más fuerte que la de contener infinitamente muchos puntos de la secuencia, que es lo que hace un punto de acumulación. Una vez que se dice que todos los puntos de la sucesión son finitos, está claro que sólo necesitamos un número finito de conjuntos abiertos para cubrir el resto. Tienes razón en que al eliminar un infinito contable de un conjunto contablemente infinito puede quedar ninguno, finitamente muchos o contablemente infinitos.
