Divisor en curva de género 2

Question

Dejemos que $C$ sea una curva suave y proyectiva de género 2. Quiero demostrar que existe una función racional no constante $f \in k(C)$ con un divisor de la forma $$(f) = P_1 + P_2 - P_3 - P_4 $$ por puntos $P_1,P_2,P_3,P_4$ . Me dan la pista de considerar dos funciones racionales $f_1, f_2 \in L(K)$ (el espacio de Riemann-Roch) donde $K$ es un divisor canónico en la curva. Sé que $\dim L(K) = 2$ , por lo que estas no constantes $f_1,f_2$ existe. Además, puedo derivar que $\deg(K)=2$ . ¿Cómo puedo utilizar esto último para resolverlo? He pensado en tomar $K = P_3 + P_4$ ya que eso me daría $f_1$ y $f_2$ ambos con polos simples en $P_3$ y $P_4$ . ¿Significa esto que puedo tomar $f = \frac{f_1}{f_2}$ ya que no dice que el $P_i$ ¿debería ser diferente?

Answer 1

Toma dos linealmente independiente formas diferenciales racionales $\omega_1, \omega_2\in L(K)=\Omega^1(C)$ con divisores $\operatorname {div} (\omega_1)=P_1+P'_1$ y $\operatorname {div} (\omega_2)=P_2+P'_2$ .
La función racional $f=\frac {\omega_1}{\omega_2}\in \operatorname {Rat}(C)$ entonces tiene un divisor de la forma requerida $$\operatorname {div}(f)=P_1+P'_1-P_2-P'_2 $$