Uso de la propiedad del conjunto anidado para demostrar la convergencia uniforme

Question

Dejemos que $f_n$ sea una función continua sobre un conjunto compacto $E$

para cada n, sea $f_n$ convergencia puntual a $F$ que también es una función continua

Supongamos que para cualquier $p \epsilon E$ la secuencia $f_n(p)$ es una secuencia creciente de números reales. Demostrar que $f_n$ de hecho converge uniformemente en $E$

Una pista:

Considere el conjunto $C_n= (all \ p \epsilon E \ with \ F(p)-f_n(p) \epsilon)$

También me dan como pista el uso de la propiedad de conjunto anidado que establece que

$$\bigcap_k^ \infty C_k \ne \emptyset$$

Así que creo que entonces como $n \to \infty$ $C_n$ no está vacío. ¿Pero qué demuestra esto? Cualquier ayuda por favor.

Answer 1

Para ser más precisos, la propiedad de conjunto anidado dice que si $\{ C_\alpha \}$ son una familia de conjuntos compactos, y toda intersección de una subfamilia finita de $\{ C_\alpha \}$ es no vacía, entonces la intersección infinita es no vacía. Intenta utilizar la inversa de esta afirmación. Puede que te resulte más fácil abordar este problema simplificando la situación a una secuencia monotónicamente decreciente de funciones continuas $f_1(p) \geq f_2(p) \geq \dots$ para cada $p$ con $f_i(p) \to 0$ para cada punto $p$ y demostrando que el $f_i$ convergen uniformemente a cero. Entonces generalice a su situación.