Dada una prueba errónea

Question

Dada una prueba errónea por inducción.

Demostremos por inducción que $n = 2n$ para todos los enteros no negativos $n$ .

Dejemos que $P(n)$ denotan la hipótesis de inducción de que $n=2n$

Caso base: Para $n=0, 0=2*0=0$ Por lo tanto $P(n)$ se mantiene.

Paso inductivo: Supongamos que $P(n)$ es válida para todos los enteros no negativos $n$ . Ahora bien, si multiplicamos ambos lados de la ecuación $n=2n$ par $\frac{n+1}{n}$ obtenemos $n\frac{n+1}{n}=2n\frac{n+1}{n}$ Así que $n+1=2(n+1)$ . Así, $P(n+1)$ se mantiene y esto completa la prueba por inducción.

Supongo que la parte incorrecta es multiplicar por $\frac{n+1}{n}$ porque $n$ puede ser $0$ Sin embargo, no estoy seguro, ¿alguien puede decir lo que está mal con esta prueba?

Answer 1

Usted mismo encontró la respuesta: si $n=0$ , $\frac{n+1}n$ no tiene sentido.

Answer 2

Intentemos demostrarlo por inducción fuerte:

El caso base $n = 0$ es correcto.

Supongamos que para algunos $n \in \mathbb{N}_0$ tenemos $k = 2k$ para todos $k \in \{0, \ldots, n\}$ .

Demostremos que $n+1 = 2(n+1)$ .

$$n+1 \stackrel{k=n}= 2n + 1 \stackrel{k=1}= 2n + 2 = 2(n+1)$$

En primer lugar, utilizamos la hipótesis de $k = n$ y luego para $k = 1$ .

Hecho.

¿Puede detectar el error ahora?