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¿Puede realizarse todo grupo de Lie como grupo isométrico completo de una variedad riemanniana?

Supongamos un grupo de Lie de dimensión finita $G$ se da. ¿Existe una variedad conectada $M$ y una métrica riemanniana $g$ , de tal manera que $G$ es el completo grupo de isometría de $(M,g)$ ?

Por ejemplo, si intento hacer esto para una conexión $G$ Entonces a menudo obtengo un grupo más grande como el grupo de isometrías completo, que incluye, por ejemplo, las isometrías de inversión de la orientación. (¿Tal vez haya que tomar un espacio no orientable para eso?)

Aunque intente realizar $\mathbb R$ como un grupo de isometría completo, fallo. (Se podría tomar el grupo isométrico completo de $\mathbb R$ con la métrica estándar, que viene dada por $\mathbb R \rtimes \mathbb Z_2$ y dividir el $\mathbb Z_2$ acción. Pero esto lleva a un punto fijo y, por tanto, el cociente ya no es un colector).

Hay un artículo de J. de Groot 1 que demuestra que todo grupo abstracto puede ser realizado como un grupo de isometría de algún espacio métrico, pero no me queda claro si esto es cierto en la categoría de grupos de Lie y de variedades riemannianas.

1 De Groot, J. "Grupos representados por grupos de homeomorfismo". Math. Ann. 138 (1959) 80-102. MR119193 doi:10.1007/BF01369667</a

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anjanb Puntos 5579

El artículo de de Groot es el que se cita aquí: ¿Qué tipo de grupo se puede realizar como grupo de Isometría de algún espacio?

Que todo grupo compacto es el grupo de isometría completo de una variedad compacta de Riemann se demuestra en:

Saerens, Rita; Zame, William R. , Los grupos de isometría de los colectores y los grupos de automorfismo de los dominios , Trans. Am. Math. Soc. 301, 413-429 (1987). ZBL0621.32025 . (tal grupo de isometría debe ser compacto a priori).

Winkelmann, Jörg , Realización de grupos de Lie conectados como grupos de automorfismo de variedades complejas , Comentario. Matemáticas. Helv. 79, nº 2, 285-299 (2004). ZBL1056.32022 . muestra que todo grupo real conectado de mentiras es el grupo de automorfismo completo de una variedad compleja completa e hiperbólica (en el sentido de Kobayashi).

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crashmstr Puntos 15302

El grupo $\mathbb R$ puede realizarse como grupo isométrico completo de $(\mathbb R\times\mathbb S^1 ,g)$ . Elija una familia periódica genérica de formas cuadráticas de un parámetro $h(t)$ en $\mathbb R^2$ . Considere la métrica $g(x,y)=h(y)$ en $\mathbb R\times\mathbb S^1$ .

Por qué: Tenga en cuenta que cada fibra $\mathbb R\times u$ se asigna a sí mismo. Obsérvese que la fibración ortogonal $\mathcal{F}$ se conserva. Acompáñanos $\mathcal{F}$ una vez que $\mathbb S^1$ . Desde $h$ es genérico no llegarás al mismo punto. Por lo tanto, cada isometría preserva la orientación de $\mathbb R$ -fibras.

Esta idea parece funcionar en general. Considere la métrica $g$ en $G\times \mathbb T^2$ que es invariante respecto a la izquierda $G$ -traducción y tal que $g(e,t)=h(t)$ es una familia genérica de formas cuadráticas sobre $T_{(e,t)}$ aquí $t\in \mathbb T^2$ .

Por qué: De esta manera se obtiene un mapa de holonomía de $G\to G$ para cualquier bucle en $\mathbb T^2$ . Para los genéricos $h(t)$ se puede suponer que no hay ningún automorfismo de $G$ que conservan esta holonomía.

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Liam Puntos 6

Tal vez esto sea lo mismo que la idea de Antón, pero pensé en publicarlo de todos modos por su visualización. Creo que algo así tendrá completo grupo de isometría $=\Bbb R$ : una "cuerda" que se enrolla periódicamente con una estructura superficial genérica.

[![introduzca aquí la descripción de la imagen][1]] [1]: https://i.stack.imgur.com/9Vv5n.png

En las fórmulas, si $h:\Bbb S^1\to\Bbb R$ es genérico, entonces la figura anterior puede ser dada por una descripción paramétrica

$$(\theta,z)\quad\mapsto\quad (1+h(\theta+\alpha z))\begin{pmatrix}\cos(\theta)\\\sin(\theta)\\0\end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\0\\z \end{pmatrix}$$

con algún parámetro $\alpha$ .

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