Supongamos un grupo de Lie de dimensión finita $G$ se da. ¿Existe una variedad conectada $M$ y una métrica riemanniana $g$ , de tal manera que $G$ es el completo grupo de isometría de $(M,g)$ ?
Por ejemplo, si intento hacer esto para una conexión $G$ Entonces a menudo obtengo un grupo más grande como el grupo de isometrías completo, que incluye, por ejemplo, las isometrías de inversión de la orientación. (¿Tal vez haya que tomar un espacio no orientable para eso?)
Aunque intente realizar $\mathbb R$ como un grupo de isometría completo, fallo. (Se podría tomar el grupo isométrico completo de $\mathbb R$ con la métrica estándar, que viene dada por $\mathbb R \rtimes \mathbb Z_2$ y dividir el $\mathbb Z_2$ acción. Pero esto lleva a un punto fijo y, por tanto, el cociente ya no es un colector).
Hay un artículo de J. de Groot 1 que demuestra que todo grupo abstracto puede ser realizado como un grupo de isometría de algún espacio métrico, pero no me queda claro si esto es cierto en la categoría de grupos de Lie y de variedades riemannianas.
1 De Groot, J. "Grupos representados por grupos de homeomorfismo". Math. Ann. 138 (1959) 80-102. MR119193 doi:10.1007/BF01369667</a