Campo eléctrico en coordenadas esféricas

Question

Digamos que quiero encontrar la integral de línea del campo eléctrico a lo largo de alguna trayectoria $ab$ como se muestra aquí

Me imagino tomando pequeños segmentos $dl$ de ese camino de $a$ a $b$ , pero al imaginarlo, me imagino que los ángulos y la distancia radial cambian, sin embargo, así se hizo, dice que no hay componentes en las direcciones theta y phi, ¿qué significa? Si significa que cada segmento que elijo en esa trayectoria no cambia los ángulos entonces no puedo visualizarlo.

Answer 1

Los ángulos ciertamente cambian a medida que se avanza en el camino. Cada $\mathrm{d}\ell$ consiste en un $\mathrm{d}r$ , $\mathrm{d}\theta$ y un $\mathrm{d}\phi$ . Pero para cada $\mathrm{d}\ell$ a lo largo del camino, sólo el $dr$ tiene una contribución no nula a la integral.

Answer 2

Tenemos dos vectores $$d\mathbf l=dr\hat{\mathbf r}+rd\theta\hat{\mathbf\theta}+r\sin\theta d\phi\hat{\mathbf\phi}$$ $$\mathbf E=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\hat{\mathbf r}+0\hat{\mathbf\theta}+0\hat{\mathbf\phi}$$

Entonces sólo tienes que hacer el producto punto $$\mathbf E\cdot d{\mathbf l}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q}{r^2}\cdot dr+0+0$$

Por ello, la dependencia angular desaparece. No es porque la dependencia angular no esté presente en el elemento de línea. Es porque el campo eléctrico apunta radialmente hacia fuera.

Answer 3

Cuando tienes un punto de carga $q$ en el punto $O$ El potencial creado por $q$ en un punto $M$ en el espacio es Estrictamente dependiente en la distancia $|OM|$ .

Si te mueves desde un punto $M$ a un punto $M'$ donde $|OM|=|OM'|$ el potencial es constante, y por tanto No hay acción del campo eléctrico cuando se pasa de $M$ a $M'$ . es decir

$\int_M^{M'} E . \mathrm{d}\vec{r}=0$

Como tal, la integral de línea sólo depende de la distancia al origen.