¿La homotopía como camino entre mapas?

Question

Consideremos el conjunto de morfismos topológicos $\mathrm{mor_{TOP}}(X,Y)$ .

Por definición, los morfismos topológicos $f,\,g: X \longrightarrow Y$ son homotópicos, si $$ \exists\; (H: X \times I \longrightarrow Y) \left( H_0 = f \land H_1=g \right)\,. $$

¿Existe una topología no trivial en el conjunto de morfismos $\mathrm{mor_{TOP}}(X,Y)$ , de tal manera que $$ \begin{align} \phi(H):I & \longrightarrow \mathrm{mor_{TOP}}(X,Y) \\ t & \mapsto H_t \end{align} $$ es continua, y tal que esto define un mapa de conjuntos bien definido $$ \phi:\mathrm{mor_{TOP}}(X \times I,Y) \longrightarrow % \mathrm{mor_{TOP}}(X,Y) $$ Tal vez incluso uno que no sólo se construya artificialmente, sino que resulte natural en cierto modo (y posible, tal que $\phi$ es continua)?

De alguna manera (posiblemente porque un profesor hizo un comentario una vez) esta vaga idea, de que una homotopía entre mapas continuos es algo así como un camino, se me ha quedado grabada en la cabeza.

Soy consciente de que los caminos pueden ser vistos como homotopías entre puntos (vistos como mapas constantes con el espacio de un punto como su dominio). Pero me interesa esta "otra dirección".

También he echado un vistazo rápido al artículo de topología compacta-abierta de la Wikipedia (la única construcción topológica general para los conjuntos de morfismos de la que tengo noticia), pero no he encontrado la palabra "homotopía" en el "cuerpo del texto" del artículo, así que supongo que no da respuesta a mi pregunta.

ACTUALIZACIÓN: Acabo de encontrar esta pregunta y el referido en el comentario ( en MO ).
Sigo pensando que mi pregunta es diferente: no necesito una topología que induzca una correspondencia ni nada por el estilo, sólo lo que escribí aquí sería suficientemente interesante.

Answer 1

Me he dado cuenta de que has encontrado referencias para responder a tu pregunta, pero permíteme que escriba algo para sacarlo de la cola de respuestas.

Dejemos que $X, Y, Z$ sean espacios de Hausdorff localmente compactos. Entonces el mapa $C(X \times Y, Z) \to C(X, C(Y, Z))$ dado por el envío de $f(-, -)$ a $x \mapsto f(x, -)$ es de hecho un homeomorfismo, donde a los espacios de funciones se les impone la topología compacta-abierta.

Es un hecho que si $P, Q, R$ son espacios Hausdorff localmente compactos, entonces la continuidad decisiva de un mapa $f : P \times Q \to R$ es equivalente a decidir la continuidad del mapa correspondiente $g : P \to C(Q, R)$ .

Con esto, se puede ver la continuidad de $\varphi$ está implícito en la continuidad del mapa correspondiente $C(X \times Y, Z) \times X \to C(Y, Z)$ lo que está implícito en la continuidad del mapa correspondiente $C(X \times Y, Z) \times X \times Y \to Z$ que es básicamente el mapa de evaluación $e : C(A, B) \times A \to B$ dado por $e(f, a) = f(a)$ , para $A = X \times Y, B = Z$ . Continuidad de $\varphi^{-1}$ se decide de forma análoga.

Dejando de lado la topología de conjunto de puntos, esto significa que la topología compacta-abierta hace que la categoría de espacios Hausdorff localmente compactos cartesiano cerrado . Esto es muy útil en general, por ejemplo en la interpretación que has dicho: una homotopía $F : I \times X \to Y$ es "lo mismo" que un mapa $f : I \to C(X, Y)$ que es un camino en el espacio de las funciones. Esto implica, por ejemplo, que $\pi_1(\Omega X) \cong \pi_2 X$ donde $\Omega X$ es el "espacio de bucle" de $X$ el espacio de los bucles (basados) en $X$ con topología compacta-abierta.