Vectores propios del cuadrado de la matriz

Question

Dado $A: n\times n$ matriz con vector propio $w$ para el valor propio $c$ , lo hace $B$ , donde $B^2 = A$ tienen $w$ como un vector propio?

Es decir $A*w = B*B*w = c*w$ . Es $w$ un vector propio de $b$ con valor propio $\sqrt{c}$ ? Sé que $A^2*w = A*A*w = A*c*w = c^2*w$ implica $A^2$ tiene un vector propio $w$ .

Answer 1

No. Un ejemplo es la matriz real cuadrada $$B= \left[ \begin{matrix}0 &1 \\ -1 & 0 \end{matrix} \right]$$

que no tiene valores propios reales (su polinomio característico es $x^2+1$ que no tiene raíces reales). Sin embargo, $B^2 = -1$ , por lo que tiene $-1$ como valor propio, y todos los vectores son vectores propios.

Answer 2

La respuesta de Crostul es correcta pero me gustaría dar alguna intuición sobre cómo es posible esta situación. Si una matriz $B$ gira los vectores en un ángulo recto, entonces no tiene vectores propios. Sin embargo, cuando esta matriz se aplica dos veces, invierte todos los vectores, por lo que $-1$ es un valor propio.