El papel de la invariancia de difeomorfismo activo y pasivo en la RG

Question

Me gustaría que se aclarara el papel de la invariancia de difeomorfismo activa y pasiva en la RG entre estas fuentes posiblemente conflictivas.

1) Wald escribe, después de explicar que los difeomorfismos pasivos equivalen a cambios de coordenadas,

"Este punto de vista "pasivo" sobre los difeomorfismos es, filosóficamente, drásticamente diferente del punto de vista "activo" anterior, pero, en la práctica, estos puntos de vista son realmente equivalentes ya que los componentes del tensor $\phi*T$ en $\phi(p)$ en el sistema de coordenadas $\{y^\mu\}$ en el punto de vista activo son precisamente los componentes de $T$ en $p$ en el sistema de coordenadas $\{x'^\mu\}$ en el punto de vista pasivo".

(Wald, Relatividad General, Apéndice C.1)

2) Gaul y Rovelli escriben,

"La relatividad general se distingue de otras teorías dinámicas de campo por su invariancia bajo activo difeomorfismos. Cualquier teoría puede hacerse invariante bajo pasivo difeomorfismos. La invariancia de difeomorfismo pasivo es una propiedad de la formulación de una teoría dinámica, mientras que la invariancia de difeomorfismo activo es una propiedad de la teoría dinámica mismo ."

(Galia y Rovelli, http://arxiv.org/abs/gr-qc/9910079 (Sección 4.1)

Parece que Wald está diciendo que no hay ninguna diferencia matemática entre los dos, y que ambos implican las mismas consecuencias físicas. Sin embargo, parece que Gaul y Rovelli dicen que sólo activo La invariancia del difeomorfismo tiene un significado físico que puede influir en la dinámica de la teoría. ¿Puede alguien explicarlo?

Answer 1

Creo que lo mejor es tratar de entender un ejemplo concreto:

Veamos un trozo del plano euclidiano coordinado por $x^a=(x, y); a=1,2$ en una bonita cuadrícula rectangular con métrica euclidiana. Ahora supongamos que definimos una transformación $$X(x,y)=x(1+\alpha y^2) $$ $$Y(x,y)=y(1+\alpha x^2) $$ $\alpha$ es sólo una constante, que tomaremos como 5/512 - para poder dibujar diagramas. Un punto P con coordenadas $(x,y)=(8,8)$ se mapea en un punto P' con coordenadas $(X,Y)=(13,13)$ .

Vista pasiva

Aquí no pensamos en P y P' como puntos diferentes, sino como el mismo punto y $(13,13)$ son sólo las coordenadas de P en el nuevo sistema de coordenadas $X^a$ .

En la imagen, las líneas azules son las líneas de coordenadas $x^a=$ const y las líneas rojas son las líneas de coordenadas $X^a=$ const. Componentes métricos en nuestro colector $g_{ab}(x)$ se asignan a los nuevos valores $$h_{ab}(X)={\frac{\partial x^c}{\partial X^a}}{\frac{\partial x^d}{\partial X^b}} g_{cd}(x) \ \ \ (1) $$ Esto representa el mismo objeto geométrico desde $$ h_{ab}(X)dX^a\otimes dX^b = g_{ab}(x)dx^a\otimes dx^b$$

Vista activa

Una descripción de la vista activa que se utiliza a veces es que los puntos se "desplazan" (en cierto sentido, quizá sea mejor pensar sólo en una asociación entre puntos, "desplazarse" implica "con respecto a algún fondo"). Así, en nuestro ejemplo, pensaríamos que el punto P se ha "estirado" hasta la nueva ubicación P'. (Estas ubicaciones son con respecto a la antigua $x$ sistema de coordenadas).

El antiguo (azul) $x=$ Las líneas de coordenadas constantes se arrastran también hacia las líneas rojas que se muestran en el diagrama. Así, el punto P conserva sus antiguos valores de coordenadas $(8,8)$ en su nueva ubicación, es decir $(X,Y)=(8,8)$ . La métrica también se arrastra (ver por ejemplo Lusanna ) según: $$h_{ab}(X)|_{P'} \ dX^a \otimes dX^b = g_{ab}(x)|_{P}\ dx^a \otimes dx^b \ \ \ (2)$$ Así que la antigua métrica euclidiana $dx^2+dy^2$ se convierte en $dX^2+dY^2$ es decir, sigue siendo euclidiana en la nueva $(X,Y)$ gráfico - nada ha cambiado. Así, por ejemplo, el ángulo entre los vectores rojos $\frac{\partial}{\partial X}$ , $\frac{\partial}{\partial Y}$ sigue siendo de 90 grados, como lo era para los vectores azules $\frac{\partial}{\partial x}$ , $\frac{\partial}{\partial y}$ ¡! Mi opinión es que esto es lo que Wald quiere decir con la equivalencia física - en este ejemplo una métrica euclidiana sigue siendo euclidiana.

Ahora bien, si miramos los vectores rojos desde el punto de vista del fotograma azul, seguro que no parecen ortogonales*, por lo que desde el punto de vista azul, sólo puede ser un nueva métrica en la que los vectores rojos son ortogonales. Así que los difeomorfismos activos pueden interpretarse como la generación de nuevas métricas.

Supongamos ahora que tenemos un espaciotiempo - una variedad con métrica para la que el tensor de Einstein $G_{\mu\nu}$ desaparece. Aplicando un difeomorfismo activo, podemos generar el arrastre del tensor de Einstein por una regla análoga a (2). Como hemos discutido, si comparamos la métrica arrastrada con la antigua en las mismas coordenadas, vemos que tenemos un espaciotiempo con una nueva métrica. Además, el nuevo espaciotiempo también debe tener un tensor de Einstein que desaparece - por el análogo de (2), el hecho de que desapareciera en el sistema antiguo significa que desaparece en el nuevo sistema y, por tanto, nuestro tensor de Einstein recién creado también desaparece (si un tensor desaparece en un conjunto de coordenadas, desaparece en todas).

En este sentido, la invariancia de las ecuaciones de Einstein bajo difeomorfismos activos es especial. Si tomamos, por ejemplo, la ecuación de onda en el espaciotiempo curvo $$(g^{\mu\nu}{\nabla}_{\mu}{\nabla}_{\nu}+\xi R)\phi(x) = 0 $$ entonces los difeomorfismos activos no llevan naturalmente a las soluciones - cambian la métrica, y la métrica en esta ecuación es parte del fondo, y es fija. Por el contrario, en las ecuaciones de Einstein, la métrica es lo que se está resolviendo por lo que la invariancia de difeomorfismo activo está incorporada.

*Sólo calcula los vectores $\frac{\partial}{\partial X}, \frac{\partial}{\partial Y}$ en términos de $\frac{\partial}{\partial x}$ , $\frac{\partial}{\partial y}$ y comprobar su ortogonalidad utilizando la métrica euclidiana original.

Answer 2

Creo que Wald acierta y Gaul y Rovelli se equivocan. Activo y pasivo tienen sensaciones muy diferentes, ya que activo es mover puntos y pasivo es sólo volver a elegir coordenadas. Pero el sentido de las coordenadas es que describen muy bien los puntos, por lo que mapear los puntos es completamente equivalente a desmapear las coordenadas. No hay ninguna diferencia sustancial entre la invariancia de difeomorfismo activa y pasiva.

Lo que tiene la RG que no tienen otras teorías es el concepto de "espaciotiempo no previo" (véase Misner Thorne Wheeler), lo que significa que toda la estructura tiene que ser dinámica. Los campos de fondo fijos son incompatibles con la teoría. Pero no veo cómo esto tiene que ver con la invarancia de difeomorfismo.

Lo que resulta confuso es que es posible aplicar un difeomorfismo a alguna estructura y no a otras. Por ejemplo, se puede transformar la métrica pero no la materia, o viceversa. También se puede transformar la métrica, pero conservar la métrica no transformada. Una isometría, por ejemplo, la invariancia de traslación en el tiempo, es una invariancia de la métrica bajo un cierto tipo de difeomorfismo. Pero el hecho de que estemos comparando la métrica transformada con la métrica no transformada hace que estamos reteniendo algo que no fue transformado. Esto no es lo mismo que la invariancia por difeomorfismo, que supone que toda la estructura está mapeada, y que no se conserva ninguna estructura no mapeada para la comparación.

Si se toma una solución en el vacío de las ecuaciones de Einstein, es cierto que un difeomorfismo activo dará otra solución. Sin embargo, las geodésicas no mapeadas no serán en general geodésicas de la métrica mapeada. Cualquier estructura no mapeada podría ser incompatible con las ecuaciones de Einstein mapeadas, así que para obtener una nueva solución necesitamos mapear todo, incluyendo todos los demás campos (si existen) así como todos los conjuntos de puntos (incluyendo las geodésicas). Llegados a este punto, hemos encontrado una nueva solución que es equivalente a la solución antigua, y también podría haberse encontrado simplemente mirando la solución antigua en nuevas coordenadas.

Cuando decimos que la invariancia de la traslación del tiempo es una simetría que conduce a la conservación de la energía, esto no tiene nada que ver con la invariancia del difeomorfismo, aunque la traslación del tiempo es un difeomorfismo aplicado sólo a la métrica (o a todo menos a la métrica). Esta simetría es una afirmación sobre la transformación de la materia respecto a la métrica (sigue siendo una solución), o una afirmación sobre la transformación de la métrica respecto a sí misma (no cambia). Sabemos que la cantidad conservada (energía) es física, ya que puede tomar diferentes valores para diferentes condiciones iniciales.

La invariancia de traslación de las coordenadas t, por otro lado, es un tipo de invariancia de difeomorfismo. Se trata de la invariancia de la acción (on-shell o off) cuando todo (la métrica, todos los demás campos y las condiciones iniciales) se mapea en la dirección t, y se mantiene incluso cuando no existe isometría (como en el espacio curvo de fondo fijo, o en la RG). No hay ninguna cantidad conservada interesante asociada a ella, por lo que es una simetría gauge.

Answer 3

Yo diría que Wald lo dice correctamente.

Un difeomorfismo es un mapa de la variedad hacia sí misma, lo que es natural pensar como un movimiento de puntos (piénsalo de forma pictórica: flechas entre dos copias de la misma variedad). Sin embargo, este desplazamiento no tiene sentido en la geometría diferencial: todos los puntos de una variedad son equivalentes, en el sentido de que su vecindad se parece a $\mathbb{R}^n$ .

Entonces, el movimiento que pensamos que está asociado a un difeo puede ser pensado también como un reetiquetado de los puntos: Si todos los puntos son equivalentes, lo que hacemos al moverlos es simplemente cambiar sus nombres. Por eso podemos adoptar el punto de vista pasivo de que los diffeos dejan los puntos intactos y sólo cambian las coordenadas.

En otras palabras, la noción de desplazamiento de un punto implica una estructura de fondo: algo se mueve con respecto a otra cosa. Esta estructura de fondo falta en la geometría diferencial, y por eso podemos pensar en la misma operación (un difeo) como mover puntos alrededor o dejarlos donde están y cambiar las coordenadas.