¿Cuándo es una forma diferencial cerrada armónica en relación con alguna métrica?

Question

Sea $\omega$ una forma diferencial $k$ cerrada no exacta ($k \geq 1$) en una variedad orientable cerrada $M$.

Pregunta: ¿Siempre existe una métrica de Riemann $g$ en $M$ tal que $\omega$ sea $g$-armónica, es decir, $\Delta_g \omega = 0$?

Aquí $\Delta_g$ es el operador Laplace-deRham, definido como de costumbre por $\Delta_g = d \delta + \delta d$, donde $\delta$ es la $g$-codiferencial. Nótese que la no exactitud es importante, ya que si $\omega$ fuese exacta y armónica, entonces por el teorema de la descomposición de Hodge $\omega = 0$.

Por ejemplo, si $\omega$ es una 1-forma en el círculo unitario, entonces no es difícil ver que $\omega$ es armónica respecto a alguna métrica $g$ si y solo si es una forma de volumen (es decir, no se anula). Esta observación se generaliza a formas de grado máximo en cualquier $M$.

¿Qué se puede decir en general para formas que no son de grado máximo?

Answer 1

Una $k$-forma cerrada se llama intrínsecamente armónica si existe alguna métrica de Riemann con respecto a la cual es armónica. E. Calabi (Calabi, Eugenio, An intrinsic characterization of harmonic one-forms, Global Analysis, Papers in Honor of K. Kodaira 101-117 (1969). ZBL0194.24701.) demostró que una una forma que tiene ceros no degenerados en una variedad compacta sin frontera es intrínsecamente armónica si y solo si satisface una propiedad llamada transitividad. La afirmación precisa y la demostración se pueden encontrar en el capítulo 9 del libro de M. Farber "Topology of closed one-forms". En lo que sigue, estoy siguiendo a Farber. Que una una forma cerrada $\omega$ tenga ceros no degenerados significa que cerca de cada cero se puede escribir en la forma $\omega = df$ con $f$ una función de Morse. Para dicha forma, la suposición adicional de armonía significa que el índice de Morse de un cero no puede ser $0$ o $n$ (escriba $\omega = df$ cerca del cero; debido a que $\omega$ es co-cerrada, $f$ es armónica, así que por el principio del máximo no puede tener un máximo o mínimo en el cero). Que $\omega$ sea transitiva significa que para cualquier punto $p$ de $M$ que no sea un cero de $\omega$ hay un lazo suave $\omega$-positivo $\gamma: [0, 1] \to M$; es decir, $\gamma(0) = p = \gamma(1)$, y $\omega(\dot{\gamma}(t)) > 0$ para $t \in [0, 1]$. Entonces, el teorema de Calabi establece que una una forma cerrada con ceros no degenerados es intrínsecamente armónica si y solo si es transitiva. Cerca de un cero de índice no degenerado $0$ de una una forma cerrada, la una forma se puede escribir en la forma $\delta_{ij}x^{i}dx^{j}$, para la cual se puede verificar que no hay lazos positivos que comiencen lo suficientemente cerca del origen.

(Si uno puede manejar $k$-formas entonces por la dualidad de Hodge se espera poder obtener algún resultado con $(n-k)$-formas. La armonía intrínseca de las $(n-1)$-formas se caracterizó en términos de transitividad en la tesis de Ko Honda, disponible en su página web). Evgeny Volkov (Volkov, Evgeny, Characterization of intrinsically harmonic forms, J. Topol. 1, No. 3, 643-650 (2008). ZBL1148.57036.) debilita la condición de no degeneración, reemplazándola por la condición de que la una forma cerrada sea localmente intrínsecamente armónica - es decir, la restricción de la forma a un vecindario abierto adecuado de su conjunto de ceros es intrínsecamente armónica.

Hasta donde yo sé, no se conoce mucho en absoluto para formas de grado superior, aunque para algunos casos especiales, como las $2$-formas en variedades de $4$ dimensiones, se ha dicho algo más. Se imagina que con más suposiciones sobre la forma, quizás se pueda decir más - por ejemplo, una forma simpléctica siempre es intrínsecamente armónica (use la métrica determinada por una estructura casi compleja compatible). Por otro lado, el artículo de Volkov exhibe una una forma cerrada $2$-forma de rango $2$ en una variedad de $4$ dimensiones que es transitiva pero no intrínsecamente armónica.

Answer 2

Esta pregunta es bastante sutil, no creo que la respuesta sea conocida en la situación general. Pero si consideramos el caso de las formas de grado $1$ en superficies, se puede caracterizar completamente aquellas que son armónicas. Ellas forman un "espacio" de dimensión finita módulo auto-difeos de la superficie. Se llaman minimalistas, y todas se pueden representar como partes reales de algunas formas de grado $1$ holomórficas. Las formas minimalistas de grado $1$ en una superficie $S$ se caracterizan por tener la propiedad de que para cada punto $x\in S$, donde la forma unimorfo no se anula, existe un círculo $S^1$ en $S$ tal que la forma restringida a $S^1$ no tiene ceros mientras que $x\in S^1.

Por ejemplo, en el caso de un $T^2$, una forma de grado $1$ es armónica para alguna métrica si no tiene ceros en absoluto.

Answer 3

1 - Eugenio Calabi afirma que todas las 1-formas no singulares cerradas en variedades cerradas son armónicas intrínsecamente ("Una caracterización intrínseca de las formas armónicas de 1-forma", 1969). Esto se puede demostrar fácilmente observando primero que tales formas son transitivas. El caso dual es un problema abierto, pero creo que es cierto. Una forma $(n-1)$-form no singular y no nula en cohomología es armónica intrínsecamente si el flujo que preserva el volumen inducido por esta forma admite una sección transversal (subvariedad cerrada de codimensión uno que corta cada órbita del flujo) o si admite una foliación complementaria (foliación transversal al flujo; al menos $C^2$). Es posible demostrar este hecho en el espíritu del trabajo de Calabi. Este problema tiene consecuencias en la caracterización plana de los haces de círculo.

2 - En el caso de las $p$-formas cerradas de rango $p$, el problema tiene una traducción para la teoría de foliaciones. Es posible mostrar que si una forma $p$ cerrada $\omega$ de rango $p$ es transitiva, entonces existe una forma complementaria $\eta$, es decir, $\eta$ es una forma cerrada tal que $\omega\wedge\eta$ es una forma de volumen. Esto se demuestra utilizando la teoría de ciclos de foliaciones (ver el artículo de Sullivan "Ciclos para el estudio dinámico de variedades foliadas y variedades complejas"). Sin embargo, en un haz de fibras $\xi=(\pi,F,E,M)$ con base simplemente conexa, espacio total compacto, si $\Omega_M$ es una forma de volumen en $M$, entonces la forma $\pi^*\Omega$ es armónica intrínsecamente si y solo si $\xi$ es trivial. Podemos evitar los casos triviales mostrando que $[F]\neq 0\in H_{\dim F}(E;\mathbb{R})$ y existen ejemplos de estos haces con sección. Esto nos da los ejemplos citados por Dan Fox. El problema es la dimensión del núcleo de $\eta$. En los casos $p=1$ o $p=n-1$ (sin singularidades), en la condición de transitividad, la dimensión del núcleo de $\eta$ es $n-1$ (caso $p=1$) o 1 (caso $p=n-1$), y se aplica el argumento de Calabi.

3 - También es un problema abierto demostrar que las formas armónicas son transitivas, como observó Katz ("Formas armónicas y foliaciones singular cerca del mínimo"). Podemos demostrar que si $\omega$ es una $p$-forma armónica de rango $p$, entonces en $M$ tenemos dos $SL(*)$-foliaciones complementarias inducidas por $\ker\omega$ y $\ker *\omega$.

4 - He estudiado el problema de las formas descomponibles. Según el argumento de Tischler (y otras consideraciones; ver "Sobre el fibrado de ciertas variedades foliadas sobre $\mathbb{S}^1$"), es suficiente considerar los haces $\xi=(F,\pi,E,\mathbb{T}^{p})$. Si este haz admite una foliación transversal con grupo de holonomía contenido en $SL(*)$, entonces la forma $\pi^*(\Omega_{\mathbb{T}^{p}})$ es armónica intrínsecamente. La idea de estudiar ejemplos particulares es saber si podemos descartar la hipótesis de transitividad. En cualquier haz $\xi=(\pi,F,E,M)$, con espacio total compacto, $[F]\neq 0$ y $\pi_1(M)$ finito, la forma $\pi^*(\Omega)$ es armónica intrínsecamente.

Ps. Las observaciones anteriores forman parte del desarrollo de mi proyecto de doctorado y están bajo análisis.