Qué función matar: ¿Seno o Cos?

Question

Obtuve una ecuación que era una solución a alguna Ecuación Diferencial conocida que estoy resolviendo, la solución tiene la forma de:

$$V=Ce^{-ix}$$

pero

$$Ce^{-ix}=A\cos(x)+B\sin(x)$$

así que

$$V=A\cos(x)+B\sin(x)$$

Normalmente, la evaluación de la ecuación anterior implica matar el $\cos$ plazo o $\sin$ plazo, o mantener ambos.

Mi pregunta es: ¿cómo sabemos qué función hay que matar o mantener?

Answer 1

Si la ecuación diferencial en sí misma no se ve modificada por la conjugación compleja (es decir, todos los coeficientes son reales) entonces si $e^{-ix}$ es una solución, entonces también lo es su conjugado complejo $e^{ix}$ . (Aquí estoy asumiendo $x$ es real; si no lo es, hay que modificar la frase anterior).

Si se trata de un lineal ecuación diferencial entonces $$Ae^{ix}+Be^{-ix} \tag 1$$ es una solución, para dos números complejos cualesquiera $A$ y $B$ .

Ahora supongamos que quieres real soluciones. Entonces tienes \begin{align} Ae^{ix}+Be^{-ix} & = A(\cos x+i\sin x)+B(\cos x-i\sin x) \\[6pt] & = (A+B)\cos x + i(A-B)\sin x \\[6pt] & = C\cos x + D\sin x. \tag 2 \end{align} Esto es real si y sólo si \begin{align} A+B & = C \text{ is real, and} \\[6pt] i(A-B) & = D \text{ is real.} \end{align} Para que $A+B$ sea real, es necesario y suficiente que las partes complejas de $A$ y $B$ se anulan cuando se añaden.

Para que $i(A-B)$ sea real, es necesario y suficiente que $A-B$ sea un imaginario puro, por lo que las partes reales de $A$ y $B$ se anulan cuando se restan.

Este $A$ y $B$ deben ser complejos conjugados entre sí. Esto equivale a $C$ y $D$ en $(2)$ por encima de ser real.

O bien $(1)$ o $(2)$ da el mismo conjunto de soluciones si $A,B,C,D$ pueden ser números complejos arbitrarios.

Si quieres saber todo soluciones, entonces es lo que necesitas. Si quieres una solución particular que satisfaga unas condiciones iniciales específicas, entonces necesitas encontrar los valores de $A$ y $B$ o de $C$ y $D$ que satisfagan esas condiciones.

Por ejemplo, si $y(0)=1$ y $y'(0)=0$ entonces necesitas $C=1$ y $D=0$ .