La expansión de Laurent de $f (z) = \frac1{z(z − 1)(z − 2)},$ (en potencias de $z$ ) para $0 < |z| < 1,$ $1 < |z| < 2,$ y $|z| > 2.$

Question

Encuentre la expansión de Laurent de $$f (z) = \frac{1}{z(z-1)(z-2)}$$ (en potencias de $z$ ) para

a. $0 < |z| < 1$

b. $1 < |z| < 2$

c. $|z| > 2$

Answer 1

Lo primero que querrás hacer, aquí, es lo que se conoce como una descomposición parcial de la fracción. Escribe $$\frac{1}{z(z-1)(z-2)}=\frac{A}{z}+\frac{B}{z-1}+\frac{C}{z-2},$$ y resolver para $A,B,C.$

Tenga en cuenta que para $z\neq0,2,$ podemos escribir $$\frac1{z-2}=-\frac1{2-z}=-\frac12\cdot\cfrac1{1-\left(\frac{z}{2}\right)}$$ y $$\frac1{z-2}=\frac1{z}\cdot\cfrac1{1-\left(\frac{2}{z}\right)}.$$

Ahora, una de ellas puede expandirse como un múltiplo de una serie geométrica en el disco $|z|<2,$ y la otra puede expandirse como un múltiplo de una serie geométrica en el anillo $|z|>2$ . Es decir, utilizaremos el hecho de que $$\frac1{1-w}=\sum_{k=0}^\infty w^k$$ siempre que $|w|<1$ . Debe averiguar qué región funciona para cada versión reescrita, y encontrar las respectivas expansiones en ambos casos.

Del mismo modo, podemos reescribir $\frac1{z-1}$ en dos formas similares, una de las cuales es ampliable en $|z|<1$ y uno de los cuales es ampliable en $|z|>1.$

Usando la descomposición parcial de la fracción con las expansiones que encontraste arriba te dará tres expansiones de Laurent diferentes de $f(z),$ uno para cada una de las regiones $0<|z|<1,$ $1<|z|<2,$ y $|z|>2$ .