Números primos en un anillo de serie de energía

Question

Sea $\mathbb Z$ el anillo de enteros racionales. Considerar la serie de energía anillo $\mathbb Z[[x]]$. Se sabe que $\mathbb Z[[x]]$ es dominio de factorización única. ¿Cuáles son los números primos en $\mathbb Z[[x]]$?

Answer 1

Esto no es una respuesta completa (pero tal vez no hay ninguno). Es bien sabido que el $\mathbb{Z}[[x]]$ $2$- dimensiones regulares noetherian de dominio. Veamos el primer ideales. Teniendo en cuenta que las fibras de $\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[[x]]) \to \mathrm{Spec}(\mathbb{Z})$, hay una descomposición (como un juego)

$$\mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[[x]]) = \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[[x]] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}) \sqcup \coprod\limits_p \mathrm{Spec}(\mathbb{Z}[[x]] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p).$$

En general se puede mostrar $R[[x]] \otimes_R R/(a) = R[[x]]/(a R[[x]])=R/(a) [[x]]$. En particular, $\mathbb{Z}[[x]] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{F}_p = \mathbb{F}_p[[x]]$ es un DVR, el único primer ideales son $(0)$$(x)$. El correspondiente primer ideales en $\mathbb{Z}[[x]]$$(p)$$(p,x)$. Por lo tanto, las fibras especiales son fáciles de entender. Pero el genérico de la fibra es más complicado: $\mathbb{Z}[[x]] \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q} = (\mathbb{Z} \setminus \{0\})^{-1} (\mathbb{Z}[[x]])$ es un buen sub-anillo de $\mathbb{Q}[[x]]$; es decir, se compone de aquellos de alimentación de la serie con coeficientes racionales cuyos denominadores son acotados. Por ejemplo, $\frac{2}{2-x} = \sum_{i=0}^{\infty} \left(\frac{x}{2}\right)^i$ no está incluido. Hasta donde yo sé, no es fácil descripción de este anillo.

EDIT: Tener una mirada en el papel de la Factorización de poder formal de la serie de capital principal ideal dominios por Jesse Elliott (arXiv). Contiene una irreductibilidad criterio para los elementos de $\mathbb{Z}[[x]]$, así como un algoritmo de factorización (en realidad con $\mathbb{Z}$ sustituida por una arbitraria PID). Esto es bastante implicada y sugiere que no hay ninguna "computable" lista de todos los elementos principales de la $\mathbb{Z}[[x]]$.