Vectores ortogonales a una superficie compacta

Question

Me gustaría saber si es posible demostrar que :

Dado $S$ a compacto superficie de $R^3$ para cualquier vector $a \in R^3$ , hay $p \in S$ tal que $T_pS$ es ortogonal a $a$

sin utilizar un teorema de clasificación sobre las superficies compactas conexas (o bien "sólo" hay que demostrarlo para $S^2$ los toros y los espacios proyectivos después de tomar una parte conectada de $S$ ).

Answer 1

Desde $S$ es compacto existe un máximo (o mínimo) $x=p$ de la función continua $f(x)=x\cdot a$ en $S$ donde punto es el producto interior euclidiano en $\mathbb {R}^3$ . El plano tangente en $p$ será ortogonal a $a$ .

Para aclarar, la superficie $S$ se encuentra enteramente en un lado del plano $(x-p)\cdot a=0$ que es, por tanto, su plano tangente en $p\in S$ .