$|f|$ constante implica $f$ ¿constante?

Question

Si $f$ es una función analítica en un dominio $D$ et $|f|=C$ es constante en $D$ por qué esto implica que $f$ es constante en $D$ ? ¿Por qué el codominio de $f$ no el círculo de radio $\sqrt{C}$ ?

Answer 1

Desde $F$ es una función analítica, sea $F(x,y)= u(x,y)+iv(x,y)$ . Entonces $F$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann que dan $u_x=v_y$ et $u_y=-v_x$ . Y, por la condición $|F|=C$ , obtendrá $u^2+v^2=k$ . Utilícelos para obtener la solución deseada.

Answer 2

La ecuación puede escribirse como $f(z)\overline{f}(\overline{z})=C^2$ .
Así que $\overline{f}(\overline{z})=C^2/f(z)$ es una función analítica de $z$ .
Eso sólo puede ser analítico si es constante.

Answer 3

Se deduce que una función analítica no constante sobre un dominio (dominio significa subconjunto abierto y conectado) es un mapa abierto. El círculo de radio C no contiene ningún conjunto abierto, por lo que no puede contener la imagen de un dominio bajo un mapa analítico.

Es un resultado bastante potente, y se basa tanto en la analiticidad como en el mapeo de un conjunto abierto y conectado. En realidad, es un caso especial del principio del módulo máximo.

Ejemplos en los que esto falla debido a la pérdida de hipótesis: si tomas el mapa que mapea dos discos disjuntos a diferentes puntos del mismo círculo (por ejemplo, la bola de radio 1 alrededor de -2 a 1, bola de radio 1 alrededor de -1), eso es analítico, con $|f|$ constante pero $f$ no es constante. O si sólo tienes el mapa de inclusión, y mapeas el intervalo cerrado [0,1] a alguna parte del círculo unitario, falla de nuevo ya que no estás mapeando desde un conjunto abierto. Los ejemplos en los que no es analítico son fáciles (por ejemplo, las coordenadas racionales mapean a 1, las coordenadas con un irracional en ellas mapean a -1)