Encuentra el máximo número natural $m$ tal que $n^3-n$ es divisible por $m$ $\forall$ $n$ $\ge$ 1 Pruebe su afirmación.

Question

Encuentra el máximo número natural $m$ tal que $n^3-n$ es divisible por $m$ $\forall$ $n$$ \ge$1 Prueba tu afirmación.

Supongo que $m$$ = $1 because if $ m $ divides $ n^3-n $ $ \Flecha derecha $ $ m $ divides $ n(n-1)(n+1) $ then $ m $ divides at least one of them, but $ \N - para todos $$n$ número natural, $n$ , $n-1$ , $n+1$ son coprimos, por lo que $m$$ =$1

¿Puede alguien ayudar a corregir o mejorar la respuesta?

Answer 1

Tenemos $n^3 -n = n\cdot\left(n^2 - 1\right) = n\cdot(n-1)\cdot(n+1)$ . Son tres números consecutivos, por lo que al menos uno de ellos tiene que ser divisible por $3$ y uno de ellos tiene que ser divisible por $2$ . Por lo tanto, $m$ tiene que ser al menos $2\cdot 3 = 6$ .

Sin embargo, para cada primo $p \in \mathbb P$ con $p > 3$ podemos encontrar un $n \in \mathbb N$ para que $n^3 - n = (n-1)n(n+1)$ no es divisible por $p$ como por ejemplo $n = p + 2$ ya que entonces la expresión se convierte en $(p+1)(p+2)(p+3)$ y ninguno de estos factores puede ser divisible por $p$ . Tampoco podemos tener $n^3 - n$ siendo siempre divisible por potencias mayores de $2$ ou $3$ , cualquier $n = 6k$ es un contraejemplo de ello. Por lo tanto, $m$ tiene que ser igual a $6$ .

Answer 2

En primer lugar, $n$ , $n+1$ , $n-1$ no son necesariamente coprimos; piensa: $n$ podría ser impar.

SUGERENCIA: $n^3-n$ es divisible por $3$ .