Un producto tensorial sobre un anillo $R$ y sobre un dominio $k$

Question

Dejemos que $R=k[x,y]$ , donde $k$ es un dominio integral, y sea $\mathfrak m=xR+yR$ . Podemos identificar el $R$ -Módulo $\mathfrak m/\mathfrak m^2$ con $V$ , donde $V=k\bar x\oplus k\bar y$ se actúa trivialmente por $\mathfrak m$ . Mi pregunta es:

Por qué $V\otimes _R V=V\otimes _k V$ ?

¡Muchas gracias!

Answer 1

Su pregunta es por qué $$\mathfrak m/\mathfrak m^2\otimes_R\mathfrak m/\mathfrak m^2\simeq \mathfrak m/\mathfrak m^2\otimes_{R/\mathfrak m} \mathfrak m/\mathfrak m^2.$$ Tenemos $\mathfrak m/\mathfrak m^2\simeq \mathfrak m\otimes_RR/\mathfrak m$ et $R/\mathfrak m\otimes_RR/\mathfrak m\simeq R/\mathfrak m$ . Ahora todo debería estar claro.